ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin 2x = \cos 2x \quad | : \cos 2x;$$ $$\mathrm{}$$б)

$$\sqrt{3}\sin 3x=\cos 3x\mathrm{}$$$$3x = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

$$$$в)

$$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} \quad | : \cos \frac{x}{2};$$ $$\mathrm{}$$г)

$$\sqrt{2}\sin 17x=\sqrt{6}\cos 17x$$

Решить уравнение:

а)

$$\sin 2x = \cos 2x \quad | : \cos 2x;$$ $$\operatorname{tg} 2x = 1;$$ $$2x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

б)

$$\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x \quad | : \cos 3x;$$ $$\sqrt{3} \operatorname{tg} 3x = 1;$$ $$\operatorname{tg} 3x = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$3x = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}.$$

в)

$$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} \quad | : \cos \frac{x}{2};$$ $$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \sqrt{3};$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

г)

$$\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x \quad | : \cos 17x;$$ $$\sqrt{2} \operatorname{tg} 17x = \sqrt{6};$$ $$\operatorname{tg} 17x = \sqrt{3};$$ $$17x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{17} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}.$$

а)

Уравнение:

$$\sin 2x = \cos 2x$$

Шаг 1. Разделим обе части на $\cos 2x$ (допустимо, если $\cos 2x \ne 0$):

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1 \Rightarrow \operatorname{tg} 2x = 1$$

Шаг 2. Решим уравнение $\operatorname{tg} 2x = 1$

Общее решение:

$$2x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 3. Найдём $x$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

б)

Уравнение:

$$\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x$$

Шаг 1. Разделим обе части на $\cos 3x$ (если $\cos 3x \ne 0$):

$$\sqrt{3} \cdot \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 1 \Rightarrow \sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 3x = 1 \Rightarrow \operatorname{tg} 3x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 2. Решим уравнение $\operatorname{tg} 3x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Знаем, что:

$$\operatorname{arctg} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6} \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 3. Найдём $x$

Разделим обе части на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$$

в)

Уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 1. Разделим обе части на $\cos \frac{x}{2}$ (если $\cos \frac{x}{2} \ne 0$):

$$\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \sqrt{3}$$

Шаг 2. Решим уравнение $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \sqrt{3}$

Знаем:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3. Найдём $x$

Умножим обе части на 2:

$$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

г)

Уравнение:

$$\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x$$

Шаг 1. Разделим обе части на $\cos 17x$ (если $\cos 17x \ne 0$):

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sin 17x}{\cos 17x} = \sqrt{6} \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \operatorname{tg} 17x = \sqrt{6}$$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\operatorname{tg} 17x = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$$

Шаг 2. Решим уравнение $\operatorname{tg} 17x = \sqrt{3}$

Знаем:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 17x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3. Найдём $x$

Разделим обе части на 17:

$$x = \frac{1}{17} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$$

Ответ:

$$x=\frac{\pi }{51}+\frac{\pi n}{17}$$