ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${}^{}$${\sin }^2\frac{x}{2}=3{\cos }^2\frac{x}{2}$

б) ${}^{}$${\sin }^{2}4x={\cos }^{2}4x$

Решить уравнение:

а) ${}^{}$$\sin^2 \frac{x}{2} = 3\cos^2 \frac{x}{2} \quad | : \cos^2 \frac{x}{2}$;
$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = 3$;
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{3}$;
$\frac{x}{2} = \pm \arctg \sqrt{3} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$;
$x = 2 \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б) ${}^{}$$\sin^2 4x = \cos^2 4x \quad | : \cos^2 4x$;
$\operatorname{tg}^2 4x = 1$;
$\operatorname{tg} 4x = \pm 1$;
$4x = \pm \arctg 1 + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$;
Ответ: $\pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

а)

$$\sin^2 \frac{x}{2} = 3\cos^2 \frac{x}{2}$$

Шаг 1: Деление обеих частей уравнения на $\cos^2 \frac{x}{2}$

Условие: $\cos \frac{x}{2} \ne 0$, иначе знаменатель обнуляется.
Если $\cos \frac{x}{2} = 0$, то:

• $\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$
• Подставим в исходное: $\sin^2 \frac{x}{2} = 1$, $\cos^2 \frac{x}{2} = 0$, а значит $1 = 0$ — противоречие.
  Значит, $\cos \frac{x}{2} \ne 0$ — деление допустимо.

Теперь делим обе части на $\cos^2 \frac{x}{2}$:

$$\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{3\cos^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} \Rightarrow \tg^2 \frac{x}{2} = 3$$

Шаг 2: Извлечение корня

$$\tg \frac{x}{2} = \pm \sqrt{3}$$

Шаг 3: Решение тригонометрического уравнения

Рассматриваем общее решение для:

$$\tg \frac{x}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{x}{2} = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$\tg \frac{x}{2} = -\sqrt{3} \Rightarrow \frac{x}{2} = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Объединяя оба случая:

$$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4: Умножение обеих частей на 2

$$x = 2 \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

$$\sin^2 4x = \cos^2 4x$$

Шаг 1: Деление обеих частей на $\cos^2 4x$

Условие: $\cos 4x \ne 0$
Если $\cos 4x = 0 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$
Подставим в исходное:

• $\cos^2 4x = 0$
• $\sin^2 4x = 1$

Получаем: $1 = 0$ — противоречие.
Значит, $\cos 4x \ne 0$ — делить можно.

Теперь делим:

$$\frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} = \frac{\cos^2 4x}{\cos^2 4x} \Rightarrow \tg^2 4x = 1$$

Шаг 2: Извлечение корня

$$\tg 4x = \pm 1$$

Шаг 3: Решение тригонометрического уравнения

Первый случай:

$$\tg 4x = 1 \Rightarrow 4x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Второй случай:

$$\tg 4x = -1 \Rightarrow 4x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Объединяя:

$$4x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 4: Деление обеих частей на 4

$$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ (б):

$$\boxed{x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$