ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $$$5\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6\cos^2 x = 5$;

б) $$$2\sin^2 x — 3\sin x \cdot \cos x + 4\cos^2 x = 4$

Решить уравнение:

а) $$$5\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6\cos^2 x = 5$;
$5\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6\cos^2 x = 5\sin^2 x + 5\cos^2 x$;
$\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$;
$\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$;
$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1$;
$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$;
$x = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$;

Одно из решений:
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n$.

б) $$$2\sin^2 x — 3\sin x \cdot \cos x + 4\cos^2 x = 4$;
$2\sin^2 x — 3\sin x \cdot \cos x + 4\cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x$;
$2\sin^2 x + 3\sin x \cdot \cos x = 0 \quad | : \sin^2 x$;
$2 + 3 \operatorname{ctg} x = 0$;
$3 \operatorname{ctg} x = -2$;
$\operatorname{ctg} x = -\frac{2}{3}$;
$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$;
$x = -\arctg 1{,}5 + \pi n$;

Одно из решений:
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Ответ: $-\arctg 1{,}5 + \pi n; \pi n$.

а)

Решить уравнение:

$$5\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6\cos^2 x = 5$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть уравнения

Мы заметим, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Тогда:

$$5\sin^2 x + 5\cos^2 x = 5(\sin^2 x + \cos^2 x) = 5 \cdot 1 = 5$$

Заменим правую часть уравнения выражением $5\sin^2 x + 5\cos^2 x$, чтобы можно было сократить:

$$5\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6\cos^2 x = 5\sin^2 x + 5\cos^2 x$$

Шаг 2. Переносим все в левую часть и упрощаем

$$(5\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 6\cos^2 x) — (5\sin^2 x + 5\cos^2 x) = 0$$

Упростим:

• $5\sin^2 x — 5\sin^2 x = 0$
• $6\cos^2 x — 5\cos^2 x = \cos^2 x$

Получаем:

$$\sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$$

Шаг 3. Разделим обе части на $\cos^2 x$

Важно: делим на $\cos^2 x \ne 0$. Это мы учтём позже отдельно как особый случай.

$$\frac{ \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x }{ \cos^2 x } = 0$$

Разделим каждый член:

$$\frac{ \sqrt{3} \sin x \cos x }{ \cos^2 x } + \frac{ \cos^2 x }{ \cos^2 x } = 0$$ $$\sqrt{3} \cdot \frac{ \sin x }{ \cos x } + 1 = 0$$ $$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0$$

Шаг 4. Решаем уравнение

$$\sqrt{3} \tan x = -1 \quad \Rightarrow \quad \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 5. Находим общее решение уравнения

$$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\tan \frac{\pi}{6}$$

Значит:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 6. Учтём случай, когда $\cos x = 0$

Мы делили на $\cos^2 x$, поэтому обязательно нужно проверить случай, когда $\cos x = 0$:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Подставим в исходное уравнение:

• $\sin x = \pm 1$
• $\cos x = 0$

Тогда:

$$5\sin^2 x + \sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \cos x + 6\cos^2 x = 5 \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 1 \cdot 0 + 6 \cdot 0 = 5$$

Подходит. Это — решение.

Ответ к пункту а:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

Решить уравнение:

$$2\sin^2 x — 3\sin x \cdot \cos x + 4\cos^2 x = 4$$

Шаг 1. Заменим правую часть уравнения

$$4\sin^2 x + 4\cos^2 x = 4(\sin^2 x + \cos^2 x) = 4 \cdot 1 = 4$$

Запишем уравнение так:

$$2\sin^2 x — 3\sin x \cos x + 4\cos^2 x = 4\sin^2 x + 4\cos^2 x$$

Шаг 2. Переносим всё в одну часть и упрощаем

$$(2\sin^2 x — 3\sin x \cos x + 4\cos^2 x) — (4\sin^2 x + 4\cos^2 x) = 0$$

Упростим:

• $2\sin^2 x — 4\sin^2 x = -2\sin^2 x$
• $4\cos^2 x — 4\cos^2 x = 0$

Остаётся:

$$-2\sin^2 x — 3\sin x \cos x = 0$$

или

$$2\sin^2 x + 3\sin x \cos x = 0$$

Шаг 3. Разделим на $\sin^2 x$

Опять же, учтём позже случай $\sin x = 0$. Сейчас делим на $\sin^2 x \ne 0$:

$$\frac{2\sin^2 x + 3\sin x \cos x}{\sin^2 x} = 0$$

Разделим каждый член:

$$2 + 3 \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 0$$ $$2 + 3\cot x = 0$$

Шаг 4. Решаем уравнение

$$3\cot x = -2 \quad \Rightarrow \quad \cot x = -\frac{2}{3}$$

Следовательно:

$$\tan x = -\frac{1}{\cot x} = -\frac{3}{2}$$

Шаг 5. Общее решение

$$\tan x = -1.5 = -\tan(\arctg(1.5)) \Rightarrow x = -\arctg(1.5) + \pi n$$

Шаг 6. Учтём $\sin x = 0$

Если $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, подставим в исходное:

• $\sin x = 0$
• $\cos x = \pm 1$

Уравнение:

$$2\cdot 0 — 3\cdot 0 + 4\cdot 1 = 4$$

Выполняется. Это — решение.

Ответ к пункту б:

$$x = -\arctg(1{,}5) + \pi n; \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$