ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \cos\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$;

б) $\sqrt{3} \, tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$;

в) $2 \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$;

г) $\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$

Решить уравнение:

а) $2 \cos\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$;
$\cos\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n$;
$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;

Первое значение:
$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
$\frac{x}{2} = 2\pi n$;
$x = 4\pi n$;

Второе значение:
$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$;
$x = \frac{4\pi}{6} + 4\pi n = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$;

Ответ: $4\pi n; \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.

б) $\sqrt{3} \, tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$;
$tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$;
$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$;
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;
$x = \frac{3\pi}{6} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 3\pi n$.

в) $2 \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$;
$\sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$3x — \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n$;
$3x — \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Если $n = 2k$, тогда:
$3x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$;
$3x = 2\pi k$;
$x = \frac{2\pi k}{3}$;

Если $n = 2k + 1$, тогда:
$3x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi$;
$3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$;
$3x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$;
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$;

Ответ: $\frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$.

г) $\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$;
$\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = -1$;
$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
$x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$;

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.

а) $2 \cos\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$

Шаг 1: Изолируем косинус

$$2 \cos\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \cos\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Найдём арккосинус

Значение $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при:

$$\theta = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Приравниваем аргумент косинуса к этим значениям

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Разберём оба случая.

Случай 1:

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2\pi n\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{2\pi }{6}+2\pi n=\frac{\pi }{3}+2\pi n\Rightarrow$$

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Случай 2:

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = 0 + 2\pi n \Rightarrow x = 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = 4\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n} \quad\text{где } n \in \mathbb{Z}$$

б) $\sqrt{3} \cdot \tan\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$

Шаг 1: Изолируем тангенс

$$\tan\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Шаг 2: Находим значение арктангенса

$$\tan \theta = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Приравниваем аргумент тангенса

$$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4: Выражаем x

$$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = 3 \cdot \left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

в) $2 \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$

Шаг 1: Изолируем синус

$$\sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Найдём значение арксинуса

$$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \theta = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Так записывается общее решение уравнения $\sin x = a$

Шаг 3: Приравниваем аргумент синуса

$$3x — \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Разделим на случаи:

Случай 1: $n = 2k$, чётное

$$(-1{)}^{2k+1}=-1\Rightarrow 3x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+2\pi k\Rightarrow 3x=0+2\pi k=2\pi k\Rightarrow$$

$$(-1)^{2k+1} = -1 \Rightarrow 3x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow 3x = 0 + 2\pi k = 2\pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{3}$$

Случай 2: $n = 2k + 1$, нечётное

$$(-1{)}^{2k+2}=1\Rightarrow 3x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+\pi (2k+1)=\frac{\pi }{4}+2\pi k+\pi =\frac{\pi }{4}+2\pi k+\pi \Rightarrow$$

$$(-1)^{2k + 2} = 1 \Rightarrow 3x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) = \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi = \frac{\pi}{4} + 2\pi k + \pi \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi k = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{2\pi k}{3}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

г) $\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$

Шаг 1: Изолируем синус

$$\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6}\right) = -1$$

Шаг 2: Вспоминаем значение, при котором синус равен -1

$$\sin \theta = -1 \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Приравниваем аргумент синуса

$$\frac{x}{2} — \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 4: Выражаем x

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+2\pi n=-\frac{3\pi }{6}+\frac{\pi }{6}+2\pi n=-\frac{2\pi }{6}+2\pi n=-\frac{\pi }{3}+2\pi n\Rightarrow$$

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n}, \quad n \in \mathbb{Z}$$