ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$;

б) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$

Решить уравнение:

a) $4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$;

$4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$;

$\sin^2 \frac{x}{2} — 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2}$;

$tg^2 \frac{x}{2} — 2 tg \frac{x}{2} — 3 = 0$;

Пусть $y = tg \frac{x}{2}$, тогда:

$y^2 — 2y — 3 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;

Первое значение:
$tg \frac{x}{2} = -1$;
$\frac{x}{2} = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Второе значение:
$tg \frac{x}{2} = 3$;
$\frac{x}{2} = \arctg 3 + \pi n$;
$x = 2 \arctg 3 + 2\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \, 2 \arctg 3 + 2\pi n$.

б) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$;

$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 \sin^2 \frac{x}{3} + 3 \cos^2 \frac{x}{3} + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$;

$\cos^2 \frac{x}{3} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{3}$;

$1 — \sqrt{3} tg \frac{x}{3} = 0$;

$\sqrt{3} tg \frac{x}{3} = 1$;

$tg \frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$;

$\frac{x}{3} = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$;

Одно из решений:
$\cos \frac{x}{3} = 0$;
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 3\pi n; \, \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$.

а) $4\sin^2\frac{x}{2}-3=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$

Шаг 1. Приведём к «однородному» виду по $\sin\frac{x}{2}$ и $\cos\frac{x}{2}$

Используем тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ при $\alpha=\tfrac{x}{2}$.
Число $-3$ удобно представить как $-3(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2})$. Тогда

$$4\sin^2\frac{x}{2}-3 =4\sin^2\frac{x}{2}-3\bigl(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\bigr) =\bigl(4-3\bigr)\sin^2\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}.$$

Подставляя это в исходное уравнение, получаем эквивалентно:

$$4\sin^2\frac{x}{2}-3\sin^2\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2} =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

То есть

$$\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=0.$$

Шаг 2. Переход к тангенсу половинного угла

Разделим на $\cos^2\frac{x}{2}$ — но с оговоркой: такое деление допустимо только при $\cos\frac{x}{2}\neq 0$. Случай $\cos\frac{x}{2}=0$ разберём отдельно ниже.

При $\cos\frac{x}{2}\neq 0$ делим оба края на $\cos^2\frac{x}{2}$:

$$\Bigl(\tfrac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}\Bigr)^2 -2\Bigl(\tfrac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}\Bigr) -3=0.$$

Обозначим $y=\tg\frac{x}{2}$. Получаем квадратное уравнение

$$y^2-2y-3=0.$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,\quad \sqrt D=4.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}\;\Rightarrow\; \begin{cases} y_1=\dfrac{2-4}{2}=-1,\\[6pt] y_2=\dfrac{2+4}{2}=3. \end{cases}$$

Возвращаясь к $x$:

$\tg\frac{x}{2}=-1 \;\Rightarrow\; \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$.
Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$\tg\frac{x}{2}=3 \;\Rightarrow\; \frac{x}{2}=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$.
Отсюда

$$x=2\arctg 3+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Шаг 4. Разбор исключённого случая $\cos\frac{x}{2}=0$

$$\cos\frac{x}{2}=0\;\Rightarrow\; \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \;\Rightarrow\; x=\pi+2\pi n.$$

Проверка в исходном уравнении:

$$\sin\frac{x}{2}=\pm 1,\quad \cos\frac{x}{2}=0.$$

Левая часть: $4\sin^2\frac{x}{2}-3=4\cdot 1-3=1$.
Правая часть: $2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$.
Получаем $1=0$ — нет. Значит, этот случай не даёт решений и мы ничего не потеряли при делении.

Шаг 5. Краткая проверка найденных семейств

• Для $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$: $\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n\Rightarrow \sin^2\tfrac{x}{2}=\tfrac12$.
  Левая часть: $4\cdot \tfrac12-3=2-3=-1$.
  Правая часть: $2\sin\tfrac{x}{2}\cos\tfrac{x}{2}=\sin x=\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\bigr)=-1$.
  Равенство верно.
• Для $x=2\arctg 3+2\pi n$: пусть $t=\tg\tfrac{x}{2}=3$.
  Тогда $\sin^2\tfrac{x}{2}=\dfrac{t^2}{1+t^2}=\dfrac{9}{10}$.
  Левая часть: $4\cdot \frac{9}{10}-3=\frac{36}{10}-3=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
  Правая часть: $2\sin\tfrac{x}{2}\cos\tfrac{x}{2}=\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$.
  Совпадает.

Итог по (а)

$$\boxed{\,x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\text{или}\quad x=2\arctg 3+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.\,}$$

б) $3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}=3+\sqrt{3}\,\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$

Шаг 1. Приведём «3» к виду с $\sin^2$ и $\cos^2$

Опять используем $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ при $\alpha=\tfrac{x}{3}$:

$$3=3(\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}).$$

Подставим это в правую часть исходного уравнения и перенесём всё влево:

$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3} -\Bigl(3\sin^2\frac{x}{3}+3\cos^2\frac{x}{3}+\sqrt{3}\,\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}\Bigr)=0.$$

Сокращаем $3\sin^2\frac{x}{3}$ и группируем:

$$\bigl(4\cos^2\frac{x}{3}-3\cos^2\frac{x}{3}\bigr)-\sqrt{3}\,\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0 \;\Rightarrow\; \cos^2\frac{x}{3}-\sqrt{3}\,\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0.$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель

$$\cos\frac{x}{3}\,\Bigl(\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\,\sin\frac{x}{3}\Bigr)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Получаем два независимых случая:

Случай 1: $\cos\frac{x}{3}=0$

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка в исходном уравнении:
$\cos\frac{x}{3}=0,\; \sin^2\frac{x}{3}=1$.
Левая часть: $3\cdot 1+4\cdot 0=3$.
Правая часть: $3+\sqrt{3}\cdot \sin\frac{x}{3}\cdot 0=3$.
Верно — это семейство решений подходит.

Случай 2: $\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\,\sin\frac{x}{3}=0$

Переносим $\sqrt{3}\,\sin$ вправо и делим на $\cos\frac{x}{3}$ (в этом случае $\cos\frac{x}{3}\neq 0$, иначе мы были бы в Случае 1):

$$1-\sqrt{3}\,\tg\frac{x}{3}=0\;\Rightarrow\; \tg\frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Отсюда

$$\frac{x}{3}=\arctg\frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка (по желанию, коротко):
$\tg\frac{x}{3}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin\frac{x}{3}=\tfrac12,\ \cos\frac{x}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Левая часть: $3\cdot\frac14+4\cdot\frac34=\frac{3}{4}+3=\frac{15}{4}$.
Правая часть: $3+\sqrt{3}\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$. Совпадает.

Итог по (б)

$$\boxed{\,x=\frac{\pi}{2}+3\pi n\quad\text{или}\quad x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\; n\in\mathbb Z.\,}$$

Итог:

а) $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ или $x=2\arctg 3+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$.

б) $x=\dfrac{\pi}{2}+3\pi n$ или $x=\dfrac{3\pi}{2}+3\pi n,\; n\in\mathbb Z$.