ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = 0$;

б) $2 \sin(\pi — 3x) + \cos(2\pi — 3x) = 0$

Решить уравнение:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = 0$;

$\cos 2x + \sin 2x = 0 \quad | : \cos 2x$;

$1 + tg 2x = 0$;

$tg 2x = -1$;

$2x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

б) $2 \sin(\pi — 3x) + \cos(2\pi — 3x) = 0$;

$2 \sin 3x + \cos 3x = 0 \quad | : \cos 3x$;

$2 tg 3x + 1 = 0$;

$2 tg 3x = -1$;

$tg 3x = -\frac{1}{2}$;

$3x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$;

$x = -\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $-\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{3}$.

a) $\sin\!\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \cos\!\left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) = 0$

Шаг 1. Упростим аргументы тригонометрических функций

Используем стандартные тождества:

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\cos t,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t.$$

Положив $t=2x$, получаем:

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)=\cos 2x,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\sin 2x.$$

Тогда исходное уравнение эквивалентно

$$\cos 2x+\sin 2x=0.$$

Шаг 2. Два корректных пути решения

Подход A (безопасный, без деления): сдвиг фазы

$$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt2\,\sin\!\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)\quad\Rightarrow\quad \cos 2x+\sin 2x=\sqrt2\,\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Значит,

$$\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0\;\Longleftrightarrow\;2x+\frac{\pi}{4}=\pi n \;\Longleftrightarrow\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Подход B (через тангенс): деление на $\cos 2x$ с проверкой

Из $\cos 2x+\sin 2x=0$ имеем $\sin 2x=-\cos 2x$.
Если $\cos 2x\neq 0$, делим и получаем

$$\tg 2x=-1.$$

Тогда

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка исключённого случая $\cos 2x=0$.
Если $\cos 2x=0$, то $\sin 2x=\pm1$ и $\cos 2x+\sin 2x=\pm1\neq0$. Значит, таких решений нет — деление корректно.

Шаг 3. Быстрая подстановка-проверка

При $n=0$: $x=-\frac{\pi}{8}$, тогда $2x=-\frac{\pi}{4}$: $\cos 2x=\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin 2x=-\frac{\sqrt2}{2}$.
Сумма $=0$. Проверка пройдена.

Итог по (a)

$$\boxed{\,x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.\,}$$

б) $2\sin(\pi-3x)+\cos(2\pi-3x)=0$

Шаг 1. Упростим аргументы по формулам приведения

$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha.$$

При $\alpha=3x$:

$$2\sin(\pi-3x)=2\sin 3x,\qquad \cos(2\pi-3x)=\cos 3x.$$

Следовательно,

$$2\sin 3x+\cos 3x=0.$$

Шаг 2. Два корректных пути решения

Подход A (безопасный): приведение к одной синусоиде

$$A\sin\theta+B\cos\theta=R\sin(\theta+\varphi),\quad R=\sqrt{A^2+B^2}.$$

При $A=2$, $B=1$, $\theta=3x$:

$$R=\sqrt5,\quad \cos\varphi=\frac{2}{\sqrt5},\quad \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt5}\Rightarrow \tg\varphi=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$2\sin 3x+\cos 3x=\sqrt5\,\sin(3x+\varphi)=0 \;\Longleftrightarrow\; \sin(3x+\varphi)=0.$$

Отсюда

$$3x+\varphi=\pi n\;\Rightarrow\;3x=\pi n-\varphi\;\Rightarrow\; x=\frac{\pi n-\varphi}{3},\quad \varphi=\arctg\!\frac{1}{2}.$$

Итак,

$$x=-\frac{1}{3}\arctg\!\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Подход B (через тангенс): деление на $\cos 3x$ с проверкой

Из $2\sin 3x+\cos 3x=0$ при $\cos 3x\neq0$ делим на $\cos 3x$:

$$2\,\tg 3x+1=0\;\Rightarrow\;\tg 3x=-\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$3x=-\,\arctg\!\frac{1}{2}+\pi n\;\Rightarrow\; x=-\frac{1}{3}\arctg\!\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка исключённого случая $\cos 3x=0$.
Тогда $\sin 3x=\pm1$, и $2\sin 3x+\cos 3x=\pm2\neq0$. Следовательно, такие $x$ не решения — деление корректно.

Шаг 3. Быстрая подстановка-проверка

При $n=0$: $x=-\frac{1}{3}\arctg\!\frac{1}{2}\Rightarrow 3x=-\arctg\!\frac{1}{2}$.
$\tg(3x)=-\tfrac12$. Тогда

$$\sin 3x=\frac{-\frac12}{\sqrt{1+\frac14}}=-\frac{1}{\sqrt5},\qquad \cos 3x=\frac{1}{\sqrt{1+\frac14}}=\frac{2}{\sqrt5}.$$

И $2\sin 3x+\cos 3x=2\!\left(-\frac{1}{\sqrt5}\right)+\frac{2}{\sqrt5}=0$. Проверка верна.

Итог по (б)

$$\boxed{{\displaystyle x=-\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\text{\hspace{0.17em}⁣}\frac{1}{2}+\frac{\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}}}$$$x=-\dfrac{1}{3}\arctg\!\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$