ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $\cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — 3 \cos\left(\pi — \frac{x}{2}\right) = 0$;

б) $\sqrt{3} \sin\left(\pi — \frac{x}{3}\right) + 3 \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{3}\right) = 0$

Решить уравнение:

a) $\cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — 3 \cos\left(\pi — \frac{x}{2}\right) = 0$;

$\sin \frac{x}{2} + 3 \cos \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos \frac{x}{2}$;

$tg \frac{x}{2} + 3 = 0$;

$tg \frac{x}{2} = -3$;

$\frac{x}{2} = -\arctg 3 + \pi n$;

$x = -2 \arctg 3 + 2\pi n$;

Ответ: $-2 \arctg 3 + 2\pi n$.

б) $\sqrt{3} \sin\left(\pi — \frac{x}{3}\right) + 3 \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{3}\right) = 0$;

$\sqrt{3} \sin \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} = 0 \quad | : \sqrt{3} \cos \frac{x}{3}$;

$tg \frac{x}{3} + \sqrt{3} = 0$;

$tg \frac{x}{3} = -\sqrt{3}$;

$\frac{x}{3} = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$;

$x = 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\pi + 3\pi n$;

Ответ: $-\pi + 3\pi n$.

а)

Решить уравнение:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — 3 \cos\left(\pi — \frac{x}{2}\right) = 0$$

Шаг 1: Применим тригонометрические формулы

Формула приведения:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \sin \alpha$$ $$\cos\left(\pi — \alpha\right) = -\cos \alpha$$

Подставим эти формулы в уравнение:

$$\sin\left(\frac{x}{2}\right) — 3 \cdot (-\cos\left(\frac{x}{2}\right)) = 0$$

Шаг 2: Упростим выражение

$$\sin\left(\frac{x}{2}\right) + 3 \cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$$

Шаг 3: Разделим обе части уравнения на $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$

(допустимо, если $\cos\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0$; мы позже отдельно проверим этот случай)

$$\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2}\right)} + 3 = 0 \Rightarrow \tan\left(\frac{x}{2}\right) + 3 = 0$$

Шаг 4: Переносим 3 в правую часть

$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = -3$$

Шаг 5: Решаем тригонометрическое уравнение

Общее решение уравнения:

$$\frac{x}{2} = \arctan(-3) + \pi n$$

Поскольку $\arctan(-3) = -\arctan(3)$, то:

$$\frac{x}{2} = -\arctan(3) + \pi n$$

Шаг 6: Умножаем обе части на 2

$$x = -2 \arctan(3) + 2\pi n$$

Шаг 7: Проверка особого случая

Напомним, что мы делили на $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
Проверим, не может ли $\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0$:

$$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$$

Подставим это значение в исходное уравнение:

Левая часть:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi + 2\pi k}{2}\right) — 3 \cos\left(\pi — \frac{\pi + 2\pi k}{2}\right) =$$ $$= \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)\right) — 3 \cos\left(\pi — \left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)\right) =$$ $$= \cos(-\pi k) — 3 \cos\left(\frac{\pi}{2} — \pi k\right)$$ $$\cos(-\pi k) = \cos(\pi k),\quad \cos(\pi k) = (-1)^k,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2} — \pi k\right) = \sin(\pi k) = 0$$

Тогда:

$$(-1)^k — 3 \cdot 0 = (-1)^k \neq 0 \Rightarrow не подходит$$

Значит, $\cos\left(\frac{x}{2}\right) \neq 0$ действительно, деление было корректным.

Ответ к а)

$$\boxed{x = -2 \arctan(3) + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

Решить уравнение:

$$\sqrt{3} \sin\left(\pi — \frac{x}{3}\right) + 3 \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{3}\right) = 0$$

Шаг 1: Применим формулы приведения

$$\sin\left(\pi — \alpha\right) = \sin \alpha$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \cos \alpha$$

Подставим:

$$\sqrt{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right) + 3 \cos\left(\frac{x}{3}\right) = 0$$

Шаг 2: Разделим обе части на $\cos\left(\frac{x}{3}\right)$

(если $\cos\left(\frac{x}{3}\right) \ne 0$, проверим это отдельно)

$$\frac{\sin\left(\frac{x}{3}\right)}{\cos\left(\frac{x}{3}\right)} + \frac{3}{\sqrt{3}} = 0 \Rightarrow \tan\left(\frac{x}{3}\right) + \sqrt{3} = 0$$

Шаг 3: Переносим $\sqrt{3}$ вправо

$$\tan\left(\frac{x}{3}\right) = -\sqrt{3}$$

Шаг 4: Общее решение

$$\frac{x}{3} = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n = -\arctan(\sqrt{3}) + \pi n$$

Значение:

$$\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 5: Умножим обе части на 3

$$x = 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\pi + 3\pi n$$

Шаг 6: Проверка деления

Проверим, не равен ли $\cos\left(\frac{x}{3}\right) = 0$:

$$\cos\left(\frac{x}{3}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$$

Подставим в исходное уравнение:

$$\sqrt{3} \sin\left(\pi — \frac{\frac{3\pi}{2} + 3\pi k}{3}\right) + 3 \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{\frac{3\pi}{2} + 3\pi k}{3}\right)$$ $$= \sqrt{3} \sin\left(\pi — \left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)\right) + 3 \sin\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)\right)$$ $$= \sqrt{3} \sin\left(\frac{\pi}{2} — \pi k\right) + 3 \sin(-\pi k) = \sqrt{3} \cos(\pi k) — 3 \sin(\pi k)$$ $$\cos(\pi k) = (-1)^k,\quad \sin(\pi k) = 0 \Rightarrow \sqrt{3} (-1)^k — 0 \ne 0$$

То есть, тоже не подходит — деление было корректным.

Ответ к б)

$$\boxed{x = -\pi + 3\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$