ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $\sqrt{16 — x^2} \cdot \sin x = 0$;

б) $\sqrt{7x — x^2} \cdot (2 \cos x — 1) = 0$

Решить уравнение:

a) $\sqrt{16 — x^2} \cdot \sin x = 0$;

Область определения:
$16 — x^2 \geq 0$;
$x^2 — 16 \leq 0$;
$(x + 4)(x — 4) \leq 0$;
$-4 \leq x \leq 4$;

Решения уравнения:
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Значения на отрезке:
$x_1 = \pi \cdot (-1) = -\pi$;
$x_2 = \pi \cdot 0 = 0$;
$x_3 = \pi \cdot 1 = \pi$;

Ответ: $-4; -\pi; 0; \pi; 4$.

б) $\sqrt{7x — x^2} \cdot (2 \cos x — 1) = 0$;

Область определения:
$7x — x^2 \geq 0$;
$x^2 — 7x \leq 0$;
$x(x — 7) \leq 0$;
$0 \leq x \leq 7$;

Решения уравнения:
$2 \cos x — 1 = 0$;
$2 \cos x = 1$;
$\cos x = \frac{1}{2}$;
$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

Значения на отрезке:
$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$;
$x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$;

Ответ: $0; \frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}; 7$.

а)

Решить уравнение:

$$\sqrt{16 — x^2} \cdot \sin x = 0$$

Шаг 1: Найдём область определения (ОДЗ)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным (иначе корень не определён на множестве действительных чисел):

$$16 — x^2 \geq 0$$

Переносим всё влево:

$$x^2 — 16 \leq 0$$

Разложим на множители:

$$(x — 4)(x + 4) \leq 0$$

Решение этого неравенства по интервалам:

• Это произведение двух скобок меньше или равно нуля.
• Значит, $x \in [-4, 4]$

ОДЗ:

$$x \in [-4, 4]$$

Шаг 2: Решим уравнение

Уравнение:

$$\sqrt{16 — x^2} \cdot \sin x = 0$$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Вариант 1:

$$\sqrt{16 — x^2} = 0 \Rightarrow 16 — x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$$

Решения:

$$x = -4,\quad x = 4$$

Вариант 2:

$$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Но! Мы уже нашли ОДЗ:

$$x \in [-4, 4]$$

Найдём, какие значения $\pi n$ попадают в этот отрезок.

Приближённо:

• $\pi \approx 3.14$

Тогда:

• $n = -1 \Rightarrow x = -\pi \approx -3.14 \in [-4, 4]$
• $n = 0 \Rightarrow x = 0 \in [-4, 4]$
• $n = 1 \Rightarrow x = \pi \approx 3.14 \in [-4, 4]$
• $n = 2 \Rightarrow x = 2\pi \approx 6.28 \notin [-4, 4]$

Подходящие решения:

$$x = -\pi,\quad x = 0,\quad x = \pi$$

Шаг 3: Соберём все решения

$$x = -4,\ -\pi,\ 0,\ \pi,\ 4$$

Ответ а):

$$\boxed{-4;\ -\pi;\ 0;\ \pi;\ 4}$$

б)

Решить уравнение:

$$\sqrt{7x — x^2} \cdot (2 \cos x — 1) = 0$$

Шаг 1: Найдём область определения (ОДЗ)

Подкоренное выражение должно быть ≥ 0:

$$7x — x^2 \geq 0 \Rightarrow -x^2 + 7x \geq 0$$

Домножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

$$x^2 — 7x \leq 0 \Rightarrow x(x — 7) \leq 0$$

Решим неравенство:

Это стандартное квадратное неравенство с корнями $x = 0$ и $x = 7$.
Такое произведение ≤ 0 при:

$$x \in [0, 7]$$

ОДЗ:

$$x \in [0, 7]$$

Шаг 2: Решим уравнение

Уравнение:

$$\sqrt{7x — x^2} \cdot (2 \cos x — 1) = 0$$

Рассматриваем отдельно каждую часть:

Вариант 1:

$$\sqrt{7x — x^2} = 0 \Rightarrow 7x — x^2 = 0 \Rightarrow x(7 — x) = 0 \Rightarrow x = 0,\quad x = 7$$

Оба корня попадают в ОДЗ $[0, 7]$

Вариант 2:

$$2 \cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$

Решаем уравнение:

$$\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$$ $$\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$

Тогда:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Теперь найдём значения, попадающие в отрезок $[0, 7]$

При $n = 0$:

• $x_1 = \frac{\pi}{3} \approx 1.05 \in [0, 7]$
• $x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \approx -1.05 + 6.28 = 5.23 \in [0, 7]$

Дополнительные решения:

$$x = \frac{\pi}{3},\quad x = \frac{5\pi}{3}$$

Проверим следующее значение:

• $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33 > 7$ → уже вне ОДЗ

Шаг 3: Соберём все решения

$$x = 0,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ 7$$

Ответ б):

$$\boxed{{\displaystyle 0;\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{3};7}}$$