ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $(\sqrt{2} \cos x — 1)\sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0$;

б) $(2 \sin x — \sqrt{3})\sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0$

Решить уравнение:

а) $(\sqrt{2} \cos x — 1)\sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0$;

Область определения:
$4x^2 — 7x + 3 \geq 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1$, тогда:
$x_1 = \dfrac{7 — 1}{2 \cdot 4} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ и
$x_2 = \dfrac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \dfrac{8}{8} = 1$;
$\left(x — \dfrac{3}{4}\right)(x — 1) \geq 0$;
$x \leq \dfrac{3}{4},\ x \geq 1$;

Решения уравнения:
$\sqrt{2} \cos x — 1 = 0$;
$\sqrt{2} \cos x = 1$;
$\cos x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$;
$x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$;

Ответ: $\mathrm{}$$1;\ \dfrac{3}{4};\ -\dfrac{\pi}{4};\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n\ (n = \pm1;\ \pm2;\ \pm3;\ …)$.

б) $(2 \sin x — \sqrt{3})\sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0$;

Область определения:
$3x^2 — 7x + 4 \geq 0$;
$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1$, тогда:
$x_1 = \dfrac{7 — 1}{2 \cdot 3} = \dfrac{6}{6} = 1$ и
$x_2 = \dfrac{7 + 1}{2 \cdot 3} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$;
$(x — 1)\left(x — \dfrac{4}{3}\right) \geq 0$;
$x \leq 1,\ x \geq \dfrac{4}{3}$;

Решения уравнения:
$2 \sin x — \sqrt{3} = 0$;
$2 \sin x = \sqrt{3}$;
$\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi n$;
$x_1 = (-1)^{2k} \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi(2k) = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$;
$x_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$;

Ответ: $$$1;\ \dfrac{4}{3};\ \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\ (k \in \mathbb{Z});\ \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\ (k = \pm1;\ \pm2;\ \pm3;\ …)$.

а)

Решить уравнение:

$$(\sqrt{2} \cos x — 1)\sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0$$

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

Корень существует только при неотрицательном подкоренном выражении:

$$4x^2 — 7x + 3 \geq 0$$

Это квадратное неравенство. Найдём дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1$$

Вычислим корни:

$$x_1 = \frac{7 — \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$$

Теперь решим неравенство:

$$4x^2 — 7x + 3 \geq 0 \Rightarrow (x — \frac{3}{4})(x — 1) \geq 0$$

Чертим числовую прямую и определяем знаки на интервалах:

• Между корнями (т.е. $\frac{3}{4} < x < 1$) — выражение < 0.
• За пределами корней (т.е. $x \leq \frac{3}{4}$ или $x \geq 1$) — выражение ≥ 0.

Значит:

$$\text{ОДЗ: } x \in (-\infty, \tfrac{3}{4}] \cup [1, +\infty)$$

Шаг 2. Решение уравнения

Уравнение вида:

$$(\sqrt{2} \cos x — 1)\cdot \sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0$$

Произведение двух выражений равно нулю. Следовательно, хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1:

$$\sqrt{2} \cos x — 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{2} \cos x = 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Общее решение:

$$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Случай 2:

$$\sqrt{4x^2 — 7x + 3} = 0 \Rightarrow 4x^2 — 7x + 3 = 0$$

Мы уже находили его корни:

$$x = \frac{3}{4},\quad x = 1$$

Оба значения входят в ОДЗ — это допустимые корни.

Шаг 3. Соберём все решения

• Из первого случая:
  $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, при любом $n \in \mathbb{Z}$ — входит в ОДЗ, так как $x \in (-\infty, \tfrac{3}{4}] \cup [1, +\infty)$
  • Нужно исключить только те $n$, при которых $x \in (\frac{3}{4}, 1)$. Например, при $n = 0$, $x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \in (\frac{3}{4}, 1)$ — не входит в ОДЗ.
  • Но остальные $n = \pm1, \pm2, \dots$ — дают значения за пределами этого промежутка, значит — допустимы.
• Из второго случая:
  $x = \frac{3}{4},\ 1$

Ответ а):

$$\boxed{ 1;\ \frac{3}{4};\ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n = \pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \dots }$$

б)

Решить уравнение:

$$(2 \sin x — \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0$$

Шаг 1. Найдём область определения

$$3x^2 — 7x + 4 \geq 0$$

Решим квадратное неравенство.

Дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1$$

Корни:

$$x_1 = \frac{7 — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1,\quad x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

Разложим:

$$3x^2 — 7x + 4 = 3(x — 1)(x — \frac{4}{3})$$

Решаем:

$$(x — 1)(x — \tfrac{4}{3}) \geq 0$$

Тогда:

• $x \leq 1$
• $x \geq \frac{4}{3}$

ОДЗ:

$$x \in (-\infty, 1] \cup [\tfrac{4}{3}, +\infty)$$

Шаг 2. Решаем уравнение

Уравнение:

$$(2 \sin x — \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0$$

Случай 1:

$$2 \sin x — \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Общее решение:

$$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Разобьём по чётности:

• Если $n = 2k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
• Если $n = 2k + 1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Итог:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}$$

Эти значения всегда входят в ОДЗ, так как они значительно больше 1 и попадают в $[\frac{4}{3}, +\infty)$.

Случай 2:

$$\sqrt{3x^2 — 7x + 4} = 0 \Rightarrow 3x^2 — 7x + 4 = 0$$

Уже решали:

$$x = 1,\quad x = \frac{4}{3}$$

Оба корня входят в ОДЗ.

Шаг 3. Соберём все решения

• $x = 1,\ \frac{4}{3}$
• $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
• $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ б):

$$\boxed{ 1;\ \frac{4}{3};\ \frac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z} }$$