ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x — 1}$;

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x — 1}$

Найти область значений функции:

а) $y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x — 1}$;

Область определения:
$\cos^2 3x — 1 \geq 0$;
$1 — \cos^2 3x \leq 0$;
$\sin^2 3x \leq 0$;

Значения аргумента:
$\sin 3x = 0$;
$3x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{3}$;

$x_1 = \frac{\pi (2k)}{3} = \frac{2\pi k}{3}$;
$x_2 = \frac{\pi (2k + 1)}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$;

Значения функции:
$y\left( \frac{2\pi k}{3} \right) = \cos(2\pi k) = \cos 0 = 1$;
$y\left( \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \right) = \cos(\pi + 2\pi k) = \cos \pi = -1$;

Ответ: $$$y \in \{-1; 1\}$.

б) $y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x — 1}$;

Область определения:
$\sin^2 4x — 1 \geq 0$;
$1 — \sin^2 4x \leq 0$;
$\cos^2 4x \leq 0$;

Значения аргумента:
$\cos 4x = 0$;
$4x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$;

$x_1 = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi (2k)}{2} = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k$;
$x_2 = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi (2k + 1)}{2} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{3\pi}{8} + \pi k$;
$x_3 = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi (2k + 1)}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{5\pi}{8} + \pi k$;

Значения функции:
$y\left( \frac{\pi}{8} + \pi k \right) = \sin\left( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \right) = \sin\left( \pm \frac{\pi}{4} \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$y\left( \frac{3\pi}{8} + \pi k \right) = \sin\left( \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right) = \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$y\left( \frac{5\pi}{8} + \pi k \right) = \sin\left( \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \right) = \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Ответ: $$$y \in \left\{ -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right\}$.

а)

$$y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x — 1}$$

Шаг 1. Найдём область определения функции (ОДЗ)

В формуле присутствует корень:

$$\sqrt{\cos^2 3x — 1}$$

Чтобы выражение под корнем имело смысл (корень определён), необходимо:

$$\cos^2 3x — 1 \geq 0$$

Приведём к другому виду:

$$\cos^2 3x \geq 1 \Rightarrow \cos^2 3x — 1 \geq 0 \Rightarrow \sin^2 3x \leq 0$$

Пояснение:

$$\sin^2 3x = 1 — \cos^2 3x \Rightarrow \cos^2 3x \geq 1 \Leftrightarrow \sin^2 3x \leq 0$$

Так как $\sin^2 3x \geq 0$ всегда, то $\sin^2 3x \leq 0$ означает:

$$\sin^2 3x = 0 \Rightarrow \sin 3x = 0$$

Шаг 2. Найдём, при каких $x$ выполняется $\sin 3x = 0$

Решим уравнение:

$$\sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}$$

Шаг 3. Подставим эти значения в исходную функцию

Пусть $x = \frac{\pi n}{3}$. Тогда:

$$3x = \pi n,\quad \cos 3x = \cos(\pi n)$$

Значения:

• $\cos(\pi n) = (-1)^n$
• $\cos^2 3x = 1 \Rightarrow \sqrt{\cos^2 3x — 1} = \sqrt{1 — 1} = 0$

Таким образом:

$$y = \cos 3x + \sqrt{\cos^2 3x — 1} = (-1)^n + 0 = (-1)^n$$

Шаг 4. Найдём возможные значения $y$

Значения $(-1)^n$ при $n \in \mathbb{Z}$ дают:

• $y = 1$, если $n$ чётное;
• $y = -1$, если $n$ нечётное.

Значит:

$$\text{Область значений функции: } y \in \{-1;\ 1\}$$

Ответ а):

$$\boxed{y \in \{-1;\ 1\}}$$

б)

$$y = \sin 2x + \sqrt{\sin^2 4x — 1}$$

Шаг 1. Найдём область определения (ОДЗ)

В выражении присутствует корень:

$$\sqrt{\sin^2 4x — 1}$$

Для существования корня:

$$\sin^2 4x — 1 \geq 0 \Rightarrow \sin^2 4x \geq 1 \Rightarrow \cos^2 4x \leq 0$$

Пояснение:

$$\cos^2 4x = 1 — \sin^2 4x \Rightarrow \sin^2 4x \geq 1 \Leftrightarrow \cos^2 4x \leq 0$$

А так как $\cos^2 4x \geq 0$ всегда, то:

$$\cos^2 4x \leq 0 \Rightarrow \cos^2 4x = 0 \Rightarrow \cos 4x = 0$$

Шаг 2. Найдём, при каких $x$ выполняется $\cos 4x = 0$

$$\cos 4x = 0 \Rightarrow 4x = \pm \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{2}(2n \pm 1) \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 3. Представим все типы решений

Упорядочим все возможные $x$, при которых $\cos 4x = 0$:

1. $x = \frac{\pi}{8} + \pi k$
2. $x = -\frac{\pi}{8} + \pi k$
3. $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$
4. $x = \frac{5\pi}{8} + \pi k$

(Эти формы получены при разложении $\pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$ на чётные и нечётные значения $n$)

Шаг 4. Найдём значения функции в этих точках

Пример 1:

$$x = \frac{\pi}{8} + \pi k \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad 4x = \frac{\pi}{2} + 4\pi k$$

• $\sin 2x = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin^2 4x = \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \Rightarrow \sqrt{1 — 1} = 0$

Тогда:

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Пример 2:

$$x = -\frac{\pi}{8} + \pi k \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad 4x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k$$

• $\sin 2x = \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin^2 4x = \sin^2 \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 1$

$$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Пример 3:

$$x = \frac{3\pi}{8} + \pi k \Rightarrow 2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\quad 4x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi k$$

• $\sin 2x = \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin^2 4x = \sin^2 \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 1$

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Пример 4:

$$x = \frac{5\pi}{8} + \pi k \Rightarrow 2x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,\quad 4x = \frac{5\pi}{2} + 4\pi k$$

• $\sin 2x = \sin \left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin^2 4x = \sin^2 \left( \frac{5\pi}{2} \right) = 1$

$$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5. Найдём множество всех возможных значений $y$

Во всех допустимых точках:

$$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ б):

$$\boxed{y \in \left\{ -\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right\}}$$