ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $|\sin x| = |\cos x|$;

б) $\sqrt{3}\,ctg\,x = 2|\cos x|$;

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$;

г) $\sqrt{2}\,tg\,x + 2|\sin x| = 0$

Решить уравнение:

а) $|\sin x| = |\cos x|$;

$$\frac{|\sin x|}{|\cos x|} = \frac{|\cos x|}{|\cos x|};$$

$|tg\,x| = 1$;
$tg\,x = \pm 1$;
$x = \pm \arctg\,1 + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $$$\frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\sqrt{3}\,ctg\,x = 2|\cos x|$;

$$\sqrt{3} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} — 2|\cos x| = 0;$$

$\sqrt{3}\cos x — 2\sin x \cdot |\cos x| = 0$;

Одно из решений:
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Если $\cos x < 0$, тогда:
$\sqrt{3}\cos x + 2\sin x \cdot \cos x = 0$;
$\cos x \cdot (\sqrt{3} + 2\sin x) = 0$;
$\sqrt{3} + 2\sin x = 0$;
$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;
$x_1 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_1 > 0)$;
$x_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_2 < 0)$;
$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$;

Если $\cos x > 0$, тогда:
$\sqrt{3}\cos x — 2\sin x \cdot \cos x = 0$;
$\cos x \cdot (\sqrt{3} — 2\sin x) = 0$;
$\sqrt{3} — 2\sin x = 0$;
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;
$x_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_1 > 0)$;
$x_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_2 < 0)$;
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$;

Ответ: $$$\frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{\pi}{3} + \pi n$.

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$;

$$\frac{|\sin 2x|}{|\cos 2x|} = \frac{|\sqrt{3} \cos 2x|}{|\cos 2x|};$$

$|tg\,2x| = \sqrt{3}$;
$tg\,2x = \pm \sqrt{3}$;
$2x = \pm \arctg\,\sqrt{3} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ:$$$\pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

г) $\sqrt{2}\,tg\,x + 2|\sin x| = 0$;

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 2|\sin x| = 0;$$

$\sqrt{2}\sin x + 2\cos x \cdot |\sin x| = 0$;

Одно из решений:
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Если $\sin x < 0$, тогда:
$\sqrt{2}\sin x — 2\cos x \cdot \sin x = 0$;
$\sin x \cdot (\sqrt{2} — 2\cos x) = 0$;
$\sqrt{2} — 2\cos x = 0$;
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
$x = \pm \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_1 < 0)$;
$x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_2 > 0)$;
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$;

Если $\sin x > 0$, тогда:
$\sqrt{2}\sin x + 2\cos x \cdot \sin x = 0$;
$\sin x \cdot (\sqrt{2} + 2\cos x) = 0$;
$\sqrt{2} + 2\cos x = 0$;
$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$x = \pm \left( \pi — \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;
$x_1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_1 < 0)$;
$x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_2 > 0)$;
$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$;

Ответ: $$$\pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

а) $|\sin x| = |\cos x|$

Шаг 1: Работаем с модулем

Запишем:

$$|\sin x| = |\cos x| \Rightarrow \frac{|\sin x|}{|\cos x|} = 1 \Rightarrow | \tan x | = 1$$

Шаг 2: Решаем уравнение

$$|\tan x| = 1 \Rightarrow \tan x = \pm 1$$

Шаг 3: Общее решение уравнения

$$\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$\tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Но $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ уже покрывает оба случая, так как:

• при $n$ чётном: $\tan x = 1$
• при $n$ нечётном: $\tan x = -1$

Ответ а):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б) $\sqrt{3}\,\cot x = 2|\cos x|$

Шаг 1: Раскроем $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

$$\sqrt{3} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 2|\cos x|$$

Шаг 2: Домножим обе части на $\sin x$

$$\sqrt{3} \cos x = 2|\cos x| \cdot \sin x$$

Шаг 3: Рассмотрим случай 1: $\cos x = 0$

Тогда и левая часть $= 0$, и правая часть $= 0$

Подходит:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 4: Рассмотрим случай 2: $\cos x \ne 0$

Разделим обе части на $\cos x$ (допустимо, если $\cos x \ne 0$).

Тогда:

$$\sqrt{3} = 2 \cdot \sin x \cdot \frac{|\cos x|}{\cos x} = 2 \cdot \sin x \cdot \text{sgn}(\cos x)$$

Разберём два случая:

Случай A: $\cos x > 0$

Тогда:

$$\text{sgn}(\cos x) = 1 \Rightarrow \sqrt{3} = 2 \sin x \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решение:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Чётные и нечётные $n$ дают:

• $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ — $\cos x > 0$
• $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ — $\cos x < 0$ (нам нужен только $\cos x > 0$)

Оставляем:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$

Случай B: $\cos x < 0$

Тогда:

$$\text{sgn}(\cos x) = -1 \Rightarrow \sqrt{3} = -2 \sin x \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Решение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Разложим:

• $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ — $\cos x > 0$
• $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ — $\cos x < 0$

Оставляем:

$$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$$

Шаг 5: Собираем все решения

• $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
• $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
• $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

Но $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi(1 + 2k)$

То есть:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ б):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n;\quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n}$$

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$

Шаг 1: Делим обе части на $|\cos 2x|$ (если $\cos 2x \ne 0$)

$$\frac{|\sin 2x|}{|\cos 2x|} = \sqrt{3} \Rightarrow |\tan 2x| = \sqrt{3} \Rightarrow \tan 2x = \pm \sqrt{3}$$

Шаг 2: Решаем уравнение

$$\tan 2x = \pm \sqrt{3} \Rightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ в):

$$\boxed{x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}}$$

г) $\sqrt{2}\tan x + 2|\sin x| = 0$

Шаг 1: Распишем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 2|\sin x| = 0 \Rightarrow \sqrt{2} \sin x + 2 \cos x \cdot |\sin x| = 0$$

Шаг 2: Случай 1: $\sin x = 0$

$$x = \pi n$$

Шаг 3: Случай 2: $\sin x \ne 0$

Разделим обе части на $\sin x$, учтя знак $\sin x$:

Случай A: $\sin x > 0 \Rightarrow |\sin x| = \sin x$

$$\sqrt{2} \sin x + 2 \cos x \cdot \sin x = 0 \Rightarrow \sin x (\sqrt{2} + 2 \cos x) = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решения:

$$x = \pi \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\quad \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

Из них только $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ даёт $\sin x > 0$

Случай B: $\sin x < 0 \Rightarrow |\sin x| = -\sin x$

$$\sqrt{2} \sin x — 2 \cos x \cdot \sin x = 0 \Rightarrow \sin x (\sqrt{2} — 2 \cos x) = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решения:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Из них только $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ даёт $\sin x < 0$

Шаг 4: Собираем все решения

• $x = \pi n$
• $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$
• $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Заметим:

• $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ → разница $\pi$, то есть:

$$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Ответ г):

$$\boxed{{\displaystyle x=\pi n;x=\frac{3\pi }{4}+\pi n}}$$