ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin (2x-\frac{\pi }{6})+\cos (\frac{13\pi }{6}-2x)=0;$$

б)

$$\sin (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}\cos (\frac{47\pi }{3}-x)$$

Решить уравнение:

а)

$$\sin\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{6} — 2x\right) = 0;$$ $$\sin\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6} — 2x\right) = 0;$$ $$\sin\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right) = 0 \quad | : \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right);$$ $$\operatorname{tg}\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0;$$ $$\operatorname{tg}\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = -1;$$ $$2x — \frac{\pi}{6} = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{4} + \pi n = -\frac{\pi}{12} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{12} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$$

б)

$$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{47\pi}{3} — x\right);$$ $$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cos\left(16\pi — \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3}\right);$$ $$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) \quad | : \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right);$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3};$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + \pi n = \pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

Ответ:

$$2\pi n$$

а)

Решить уравнение:

$$\sin\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{6} — 2x\right) = 0$$

Шаг 1: Упростим аргумент косинуса

$$\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \Rightarrow \cos\left(\frac{13\pi}{6} — 2x\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6} — 2x\right)$$

Используем периодичность косинуса:

$$\cos(2\pi + \alpha) = \cos \alpha \Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right)$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\sin\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right) = 0$$

Шаг 2: Заметим симметрию аргументов

$$\cos\left(\frac{\pi}{6} — 2x\right) = \cos\left(-\left(2x — \frac{\pi}{6}\right)\right) \Rightarrow \cos(-\alpha) = \cos \alpha \Rightarrow \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Уравнение принимает вид:

$$\sin\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = 0$$

Шаг 3: Делим обе части на $\cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right)$

(если $\cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) \ne 0$, случай нуля рассмотрим отдельно)

$$\frac{\sin\left(2x — \frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(2x — \frac{\pi}{6}\right)} + 1 = 0 \Rightarrow \tan\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0 \Rightarrow \tan\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = -1$$

Шаг 4: Решим тригонометрическое уравнение

$$\tan\left(2x — \frac{\pi}{6}\right) = -1 \Rightarrow 2x — \frac{\pi}{6} = -\arctan(1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 5: Найдём $x$

$$2x = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{4} + \pi n = -\frac{\pi}{12} + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{12} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ а):

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

Решить уравнение:

$$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{47\pi}{3} — x\right)$$

Шаг 1: Упростим аргумент косинуса

Разложим:

$$\frac{47\pi}{3} = 16\pi — \frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{47\pi}{3} — x = 16\pi — \frac{\pi}{3} — x$$

Но проще заметить:

$$\frac{47\pi}{3} = 15\cdot\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 2\pi \cdot 7 + \frac{\pi}{3} \Rightarrow \frac{47\pi}{3} \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$$

Таким образом:

$$\cos\left(\frac{47\pi}{3} — x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right)$$

Запишем:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = \cos\left(-x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) \quad \text{(если мы заменим } x \mapsto \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \text{)}$$

Однако проще:

$$\cos\left(16\pi — \frac{x}{2} — \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$$

(так как $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$)

Шаг 2: Теперь уравнение принимает вид:

$$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 3: Делим обе части на $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$

(если не ноль; если ноль — проверим отдельно)

$$\frac{\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right)} = \sqrt{3} \Rightarrow \tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$

Шаг 4: Решаем уравнение

$$\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 5: Найдём $x$

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + \pi n = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$$

Ответ б):

$$\boxed{x = 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$