ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a)

$${\sin }^{2}x-5\cos x=\sin x\cdot \cos x-5\sin x$$

б)

$${\cos }^{2}x-7\sin x+\sin x\cdot \cos x=7\cos x$$

Решить уравнение:

a)

$$\sin^2 x — 5\cos x = \sin x \cdot \cos x — 5\sin x;$$ $$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + 5\sin x — 5\cos x = 0;$$ $$\sin x \cdot (\sin x — \cos x) + 5(\sin x — \cos x) = 0;$$ $$(\sin x + 5)(\sin x — \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x + 5 = 0;$$ $$\sin x = -5 < -1;$$ $$x \in \varnothing;$$

Второе уравнение:

$$\sin x — \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x — 1 = 0;$$ $$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n$$

б)

$$\cos^2 x — 7\sin x + \sin x \cdot \cos x = 7\cos x;$$ $$\cos^2 x + \sin x \cdot \cos x — 7\cos x — 7\sin x = 0;$$ $$\cos x \cdot (\cos x + \sin x) — 7(\cos x + \sin x) = 0;$$ $$(\cos x — 7)(\cos x + \sin x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x — 7 = 0;$$ $$\cos x = 7 > 1;$$ $$x \in \varnothing;$$

Второе уравнение:

$$\cos x + \sin x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$1 + \tg x = 0;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n$$

а)

$$\sin^2 x — 5\cos x = \sin x \cdot \cos x — 5\sin x$$

Шаг 1: Переносим все слагаемые в одну сторону

$$\sin^2 x — 5\cos x — (\sin x \cos x — 5\sin x) = 0$$

Раскроем скобки (не забываем поменять знаки):

$$\sin^2 x — 5\cos x — \sin x \cos x + 5\sin x = 0$$

Шаг 2: Группируем члены

$$\sin^2 x — \sin x \cos x + 5\sin x — 5\cos x = 0$$

Шаг 3: Вынесем общие множители

Группируем и выносим:

$$\sin x (\sin x — \cos x) + 5 (\sin x — \cos x) = 0$$

Шаг 4: Снова выносим общий множитель

$$(\sin x + 5)(\sin x — \cos x) = 0$$

Теперь уравнение представлено в виде произведения двух множителей, значит:

Шаг 5: Решаем каждый множитель по отдельности

Первый множитель:

$$\sin x + 5 = 0 \Rightarrow \sin x = -5$$

Но!

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow \sin x = -5 \text{ не имеет решений}$$

Нет решений из этого случая.

Второй множитель:

$$\sin x — \cos x = 0 \Rightarrow \sin x = \cos x$$

Шаг 6: Делим обе части на $\cos x$

(если $\cos x \ne 0$; иначе рассмотрим отдельно)

$$\frac{\sin x}{\cos x} = 1 \Rightarrow \tan x = 1$$

Шаг 7: Общее решение

$$x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ а):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

$$\cos^2 x — 7\sin x + \sin x \cdot \cos x = 7\cos x$$

Шаг 1: Переносим всё в левую часть

$$\cos^2 x + \sin x \cdot \cos x — 7\cos x — 7\sin x = 0$$

Шаг 2: Группируем и выносим

$$\cos x (\cos x + \sin x) — 7 (\cos x + \sin x) = 0$$

Шаг 3: Вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$

$$(\cos x — 7)(\cos x + \sin x) = 0$$

Шаг 4: Решим каждое уравнение по отдельности

Первый множитель:

$$\cos x — 7 = 0 \Rightarrow \cos x = 7$$

Но!

$$-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow \cos x = 7 \text{ не имеет решений}$$

Нет решений из этого случая.

Второй множитель:

$$\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\cos x$$

Шаг 5: Делим обе части на $\cos x$

(если $\cos x \ne 0$)

$$\frac{\sin x}{\cos x} = -1 \Rightarrow \tan x = -1$$

Шаг 6: Общее решение

$$x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ б):

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$