ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$3{\sin }^2\frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\cdot \sin (\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})=2$$

б)

$$2{\cos }^2\frac{x}{2}-3\sin (\pi -\frac{x}{2})\cdot \cos (2\pi -\frac{x}{2})+7{\sin }^2\frac{x}{2}=3$$

в)

$$4{\cos }^2(\frac{\pi }{2}+x)+\sqrt{3}\sin (\frac{3\pi }{2}-x)\cdot \sin (\pi +x)+3{\cos }^2(\pi +x)=3$$

г)

$$3{\sin }^2(x-\frac{3\pi }{2})-2\cos (\frac{3\pi }{2}+x)\cdot \cos (\pi +x)+2{\sin }^2(x-\pi )=2$$

Решить уравнение:

а)

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) = 2$$ $$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$ $$\sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2}$$ $$\tg^2 \frac{x}{2} + \tg \frac{x}{2} — 2 = 0$$

Пусть $y = \tg \frac{x}{2}$, тогда:

$$y^2 + y — 2 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ $$\tg \frac{x}{2} = -2 \Rightarrow \frac{x}{2} = -\arctg 2 + \pi n \Rightarrow x = -2 \arctg 2 + 2\pi n$$ $$\tg \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = -2 \arctg 2 + 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

б)

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin\left(\pi — \frac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(2\pi — \frac{x}{2}\right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$$ $$7 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 3 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2}$$ $$4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2}$$ $$4 \tg^2 \frac{x}{2} — 3 \tg \frac{x}{2} — 1 = 0$$

Пусть $y = \tg \frac{x}{2}$, тогда:

$$4y^2 — 3y — 1 = 0$$ $$D = 9 + 16 = 25$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{8} = -\frac{1}{4}, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{8} = 1$$ $$\tg \frac{x}{2} = -\frac{1}{4} \Rightarrow \frac{x}{2} = -\arctg \frac{1}{4} + \pi n \Rightarrow x = -2 \arctg \frac{1}{4} + 2\pi n$$ $$\tg \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = -2 \arctg \frac{1}{4} + 2\pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

в)

$$4 \cos^2\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3} \sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) \cdot \sin(\pi + x) + 3 \cos^2(\pi + x) = 3$$ $$4 \sin^2 x + \sqrt{3} \cos x \cdot (-\sin x) + 3 \cos^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$$ $$\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x = 0 \quad | : \cos^2 x$$ $$\tg^2 x + \sqrt{3} \tg x = 0 \Rightarrow \tg x \cdot (\tg x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\tg x = 0 \Rightarrow x = \pi n$$ $$\tg x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

г)

$$3 \sin^2\left(x — \frac{3\pi}{2}\right) — 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cdot \cos(\pi + x) + 2 \sin^2(x — \pi) = 2$$ $$3 \cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$$ $$\cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0 \quad | : \sin^2 x$$ $$\ctg^2 x + 2 \ctg x = 0 \Rightarrow \ctg x \cdot (\ctg x + 2) = 0$$ $$\ctg x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$\ctg x = -2 \Rightarrow \tg x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$$

а)

Уравнение:

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) = 2$$

Шаг 1: Применяем формулы приведения

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) = \cos\frac{x}{2}$$

Подставляем:

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} = 2$$

Шаг 2: Приводим подобные члены

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} — 2 = 0$$

Шаг 3: Преобразуем правую часть (используем $\sin^2 + \cos^2 = 1$)

$$2 = 2 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Переписываем уравнение:

$$3 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$ $$\sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} — 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 4: Делим на $\cos^2\frac{x}{2}$ (при $\cos\frac{x}{2} \neq 0$)

$$\tg^2 \frac{x}{2} + \tg \frac{x}{2} — 2 = 0$$

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение (обозначаем $y = \tg \frac{x}{2}$)

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 6: Находим $x$ для каждого корня

• Для $\tg \frac{x}{2} = -2$:

  $$\frac{x}{2} = -\arctg 2 + \pi n \Rightarrow x = -2\arctg 2 + 2\pi n$$

• Для $\tg \frac{x}{2} = 1$:

  $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ а):

$$\boxed{x = -2 \arctg 2 + 2\pi n;\ \ \frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$

б)

Уравнение:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} — 3 \sin\left(\pi — \frac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(2\pi — \frac{x}{2}\right) + 7 \sin^2 \frac{x}{2} = 3$$

Шаг 1: Применим приведение углов

• $\sin\left(\pi — \frac{x}{2}\right) = \sin\frac{x}{2}$
• $\cos\left(2\pi — \frac{x}{2}\right) = \cos\frac{x}{2}$

Подставляем:

$$7 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 3$$

Шаг 2: Выражаем 3 через $\sin^2 + \cos^2$

$$3 = 3 \sin^2 \frac{x}{2} + 3 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Получаем:

$$4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 3: Делим на $\cos^2\frac{x}{2}$

$$4 \tg^2 \frac{x}{2} — 3 \tg \frac{x}{2} — 1 = 0$$

Шаг 4: Квадратное уравнение $y = \tg \frac{x}{2}$

$$4y^2 — 3y — 1 = 0, \quad D = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$y_1 = -\frac{1}{4}, \quad y_2 = 1$$

Шаг 5: Находим $x$

• $\tg \frac{x}{2} = -\frac{1}{4}$:

  $$x = -2\arctg\frac{1}{4} + 2\pi n$$

• $\tg \frac{x}{2} = 1$:

  $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ б):

$$\boxed{x = -2 \arctg \frac{1}{4} + 2\pi n;\ \ \frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$

в)

Уравнение:

$$4 \cos^2\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + \sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) \cdot \sin(\pi + x) + 3 \cos^2(\pi + x) = 3$$

Шаг 1: Приведение углов

• $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ → $\cos^2 = \sin^2 x$
• $\sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = \cos x$
• $\sin(\pi + x) = -\sin x$
• $\cos(\pi + x) = -\cos x$ → $\cos^2 = \cos^2 x$

Подставим:

$$4 \sin^2 x + (\sqrt{3} \cos x \cdot -\sin x) + 3 \cos^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$$ $$\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 2: Делим на $\cos^2 x$

$$\tg^2 x + \sqrt{3}\tg x = 0$$

Факторизуем:

$$\tg x (\tg x + \sqrt{3}) = 0$$

Шаг 3: Решаем

• $\tg x = 0$: $x = \pi n$
• $\tg x = -\sqrt{3}$: $x = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Ответ в):

$$\boxed{x = \pi n;\ \ -\frac{\pi}{3} + \pi n}$$

г)

Уравнение:

$$3 \sin^2\left(x — \frac{3\pi}{2}\right) — 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) \cdot \cos(\pi + x) + 2 \sin^2(x — \pi) = 2$$

Шаг 1: Приведение углов

• $\sin\left(x — \frac{3\pi}{2}\right) = \cos x$ → $\sin^2 = \cos^2 x$
• $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$
• $\cos(\pi + x) = -\cos x$ → умножая, = $-\sin x \cdot -\cos x = \sin x \cdot \cos x$
• $\sin^2(x — \pi) = \sin^2 x$

Подставим:

$$3\cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x + 2\sin^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$$ $$\cos^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 2: Делим на $\sin^2 x$ → получаем

$$\ctg^2 x + 2 \ctg x = 0 \quad \Rightarrow \ctg x (\ctg x + 2) = 0$$

Шаг 3: Решаем

• $\ctg x = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
• $\ctg x = -2$: $\tg x = -\frac{1}{2}$ → $x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n$

Ответ г):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n;-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n}}$$