ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\mathrm{}$$2\sin^2(\pi + x) — 5\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 2 = 0$;

б) $\mathrm{}$$2\cos^2 x + 5\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 4 = 0$;

в) $$$2\cos^2 x + \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 1 = 0$;

г) $$$5 — 5\sin(3(\pi — x)) = \cos^2(\pi — 3x)$

Решить уравнение:

а) $\mathrm{}$$2\sin^2(\pi + x) — 5\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 2 = 0$;
$2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0$;
Пусть $y = \sin x$, тогда:
$2y^2 + 5y + 2 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2$ и
$y_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$;

Первое значение:
$\sin x = -2 < -1$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$\sin x = -\frac{1}{2}$;
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Ответ: $$$(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

б) $\mathrm{}$$2\cos^2 x + 5\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 4 = 0$;
$2 — 2\sin^2 x + 5\sin x — 4 = 0$;
$2\sin^2 x — 5\sin x + 2 = 0$;
Пусть $y = \sin x$, тогда:
$2y^2 — 5y + 2 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и
$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

Первое значение:
$\sin x = \frac{1}{2}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Второе значение:
$\sin x = 2 > 1$;
$x \in \varnothing$;

Ответ:$$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$

в) $$$2\cos^2 x + \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 1 = 0$;
$2\cos^2 x + \cos x — 1 = 0$;
Пусть $y = \cos x$, тогда:
$2y^2 + y — 1 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$ и
$y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$;

Первое значение:
$\cos x = -1$;
$x = \pi + 2\pi n$;

Второе значение:
$\cos x = \frac{1}{2}$;
$x = \pm \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $$$\pi + 2\pi n;\ \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

г) $$$5 — 5\sin(3(\pi — x)) = \cos^2(\pi — 3x)$;
$5 — 5\sin(3\pi — 3x) = \cos^2 3x$;
$5 — 5\sin 3x = 1 — \sin^2 3x$;
$\sin^2 3x — 5\sin 3x + 4 = 0$;
Пусть $y = \sin 3x$, тогда:
$y^2 — 5y + 4 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1$ и
$y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$;

Первое значение:
$\sin 3x = 1$;
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$;

Второе значение:
$\sin 3x = 4 > 1$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: $\frac{}{}$$\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi n}{3}$

a)

Уравнение:

$$2\sin^2(\pi + x) — 5\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 2 = 0.$$

1. Приведение тригонометрических функций к базовому виду

• $\sin(\pi + x) = -\sin x$, значит

  $$\sin^2(\pi + x) = \sin^2 x.$$

• $\cos\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$.

Подставим:

$$2 \sin^2 x — 5(-\sin x) + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0.$$

2. Перевод в квадратное уравнение

Обозначим $y = \sin x$. Тогда:

$$2y^2 + 5y + 2 = 0.$$

Вычисляем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-5 — 3}{4} = -2, \quad y_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\tfrac{1}{2}.$$

3. Анализ корней

• Для $y_1 = -2$:
  $\sin x = -2$ — не имеет смысла, так как $|\sin x| \le 1$. Отбрасываем.
• Для $y_2 = -\tfrac{1}{2}$:

  $$\sin x = -\tfrac{1}{2}.$$

  Общее решение:

  $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\tfrac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

  Потому что $\arcsin\left(\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{\pi}{6}$.

Итоговый ответ (a)

$$\boxed{x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

Уравнение:

$$2\cos^2 x + 5\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 4 = 0.$$

1. Преобразуем тригонометрические функции

$\cos\left(\tfrac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$.
Подстановка:

$$2\cos^2 x + 5\sin x — 4 = 0.$$

Аналогично, пусть $\sin x = y$ и $\cos^2 x = 1 — y^2$:

$$2(1 — y^2) + 5y — 4 = 0 \;\Longrightarrow\; -2y^2 + 5y — 2 = 0.$$

Умножив на $-1$:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0.$$

Дискриминант:

$$D = 25 — 16 = 9.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2.$$

2. Анализ корней

• $y_2 = 2$: $\sin x = 2$ — не допустимо.
• $y_1 = \tfrac{1}{2}$: $\sin x = \tfrac{1}{2}$.
  Следовательно,

  $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итоговый ответ (б)

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

в)

Уравнение:

$$2\cos^2 x + \sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) — 1 = 0.$$

1. Приведение

$\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$.
Уравнение:

$$2\cos^2 x + \cos x — 1 = 0.$$

Обозначим $y = \cos x$:

$$2y^2 + y — 1 = 0.$$

Дискриминант:

$$D = 1 + 8 = 9.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}.$$

2. Решения

• $y_1 = -1$: $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n.$
• $y_2 = \tfrac{1}{2}$: $\cos x = \tfrac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \tfrac{\pi}{3} + 2\pi n.$

Итоговый ответ (в)

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n;\quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}$$

г)

Уравнение:

$$5 — 5\sin(3(\pi — x)) = \cos^2(\pi — 3x).$$

1. Приведение аргументов

$\sin(3(\pi — x)) = \sin(3\pi — 3x) = -\sin(3x)$, т.е.

$$5 — 5(-\sin 3x) = 5 + 5\sin 3x.$$

Справа: $\cos^2(\pi — 3x) = \cos^2 3x$.
Уравнение:

$$5 + 5\sin 3x = \cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x.$$

Переносим:

$$\sin^2 3x + 5\sin 3x + (1 — 5) = 0 \;\Longrightarrow\; \sin^2 3x — 5\sin 3x + 4 = 0.$$

Обозначим $y = \sin 3x$:

$$y^2 — 5y + 4 = 0, \quad D = 25 — 16 = 9.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1,\quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.$$

2. Проверка корней

• $y_2 = 4$ — вне [-1,1], отклоняем.
• $y_1 = 1$: $\sin 3x = 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$
  значит $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

Итоговый ответ (г)

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}}$$

Итог:

а) $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$
б) $x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n$
в) $x = \pi + 2\pi n;\quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
г) $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$