ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.43 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \, tg^2 \frac{x}{2} — 2 \, ctg \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2} \right) — 1 = 0$;

б) $3 \, tg^2 4x — 2 \, ctg \left( \frac{\pi}{2} — 4x \right) = 1$;

в) $tg(\pi + x) + 2 \, tg \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$;

г) $2 \, ctg \, x — 3 \, ctg \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + 5 = 0$

Решить уравнение:

а) $3 \, tg^2 \frac{x}{2} — 2 \, ctg \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2} \right) — 1 = 0$;
$3 \, tg^2 \frac{x}{2} + 2 \, tg \frac{x}{2} — 1 = 0$;

Пусть $y = tg \frac{x}{2}$, тогда:
$3y^2 + 2y — 1 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$ и $y_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;

Первое значение:
$tg \frac{x}{2} = -1$;
$\frac{x}{2} = -arctg \, 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Второе значение:
$tg \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$;
$\frac{x}{2} = arctg \frac{1}{3} + \pi n$;
$x = 2 \, arctg \frac{1}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \, 2 \, arctg \frac{1}{3} + 2\pi n$.

б) $3 \, tg^2 4x — 2 \, ctg \left( \frac{\pi}{2} — 4x \right) = 1$;
$3 \, tg^2 4x — 2 \, tg \, 4x — 1 = 0$;

Пусть $y = tg \, 4x$, тогда:
$3y^2 — 2y — 1 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ и $y_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$;

Первое значение:
$tg \, 4x = -\frac{1}{3}$;
$4x = -arctg \frac{1}{3} + \pi n$;
$x = -\frac{1}{4} arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{4}$;

Второе значение:
$tg \, 4x = 1$;
$4x = arctg \, 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$;

Ответ:$$$-\frac{1}{4} arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{4}; \, \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

в) $tg(\pi + x) + 2 \, tg \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$;
$tg \, x — 2 \, ctg \, x + 1 = 0 \quad | \cdot tg \, x$;
$tg^2 x + tg \, x — 2 = 0$;

Пусть $y = tg \, x$, тогда:
$y^2 + y — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$;

Первое значение:
$tg \, x = -2$;
$x = -arctg \, 2 + \pi n$;

Второе значение:
$tg \, x = 1$;
$x = arctg \, 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $$$-arctg \, 2 + \pi n; \, \frac{\pi}{4} + \pi n$.

г) $2 \, ctg \, x — 3 \, ctg \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + 5 = 0$;
$2 \, ctg \, x — 3 \, tg \, x + 5 = 0 \quad | \cdot tg \, x$;
$-3 \, tg^2 x + 5 \, tg \, x + 2 = 0$;

Пусть $y = tg \, x$, тогда:
$3y^2 — 5y — 2 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ и $y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$;

Первое значение:
$tg \, x = -\frac{1}{3}$;
$x = -arctg \frac{1}{3} + \pi n$;

Второе значение:
$tg \, x = 2$;
$x = arctg \, 2 + \pi n$;

Ответ: $$$-arctg \frac{1}{3} + \pi n; \, arctg \, 2 + \pi n$.

a) Уравнение:

$$3\,\tg^2\left(\frac{x}{2}\right) — 2\,\ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) — 1 = 0$$

1. Упрощение выражения с ctg:

Используем формулу:

$$\ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\tg \alpha$$

Причина: $\ctg(\beta) = \tg\left(\frac{\pi}{2} — \beta\right)$. В данном случае можно также понять, что $\frac{3\pi}{2} + \alpha = \pi + \frac{\pi}{2} + \alpha$ и использовать периодичность и знаки.

В итоге:

$$— 2\,\ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = -2 \cdot \left(-\tg \frac{x}{2}\right) = +2\,\tg \frac{x}{2}$$

Теперь уравнение:

$$3\,\tg^2\left(\frac{x}{2}\right) + 2\,\tg\left(\frac{x}{2}\right) — 1 = 0$$

2. Перевод в квадратное уравнение:

Обозначим:

$$y = \tg\left(\frac{x}{2}\right)$$

Тогда уравнение becomes:

$$3y^2 + 2y — 1 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-2 — 4}{6} = -1, \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$$

3. Решения в терминах $x$:

Случай 1: $y = -1 \Rightarrow \tg\left(\frac{x}{2}\right) = -1$

Тогда:

$$\frac{x}{2} = -\arctg(1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Умножаем на 2:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Случай 2: $y = \frac{1}{3} \Rightarrow \tg\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{3}$

$$\frac{x}{2} = \arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$$

Умножаем на 2:

$$x = 2\,\arctg\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

Итог (a):

$$\boxed{\,x = -\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = 2\,\arctg\left(\tfrac{1}{3}\right) + 2\pi n\,}$$

б) Уравнение:

$$3\,\tg^2(4x) — 2\,\ctg\left(\tfrac{\pi}{2} — 4x\right) = 1$$

1. Преобразуем с помощью ctg:

$$\ctg\left(\tfrac{\pi}{2} — 4x\right) = \tg(4x)$$

Тогда уравнение:

$$3\,\tg^2(4x) — 2\,\tg(4x) — 1 = 0$$

2. Квадратное уравнение:

Пусть $y = \tg(4x)$:

$$3y^2 — 2y — 1 = 0, \quad D = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$y_1 = \frac{2 — 4}{6} = -\tfrac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$$

3. Решение:

Случай 1: $\tg(4x) = -\tfrac{1}{3}$

$$4x = -\arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$$ $$x = -\frac{1}{4}\arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{4}$$

Случай 2: $\tg(4x) = 1$

$$4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Итог (б):

$$\boxed{\,x = -\frac{1}{4}\arctg\left(\tfrac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{4}; \quad x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}\,}$$

в) Уравнение:

$$\tg(\pi + x) + 2\,\tg\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$$

1. Преобразование:

$$\tg(\pi + x) = \tg x, \quad \tg\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\ctg x = -\frac{1}{\tg x}$$

Подставим:

$$\tg x — 2\cdot \frac{1}{\tg x} + 1 = 0$$

Умножим на $\tg x$:

$$\tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

2. Квадратное уравнение:

Пусть $y = \tg x$:

$$y^2 + y — 2 = 0, \quad D = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$y_1 = -2, \quad y_2 = 1$$

3. Решение:

• $\tg x = -2 \Rightarrow x = -\arctg 2 + \pi n$
• $\tg x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Итог (в):

$$\boxed{\,x = -\arctg 2 + \pi n;\quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n\,}$$

г) Уравнение:

$$2\,\ctg x — 3\,\ctg\left(\tfrac{\pi}{2} — x\right) + 5 = 0$$

1. Преобразуем:

$$\ctg\left(\tfrac{\pi}{2} — x\right) = \tg x$$

Уравнение:

$$2\,\ctg x — 3\,\tg x + 5 = 0$$

Умножаем на $\tg x$:

$$2\,\ctg x \cdot \tg x — 3\,\tg^2 x + 5\,\tg x = 0 \Rightarrow 2 — 3\tg^2 x + 5\tg x = 0$$

Переписываем в стандартном виде:

$$-3y^2 + 5y + 2 = 0 \quad \text{где } y = \tg x$$

Умножаем на −1:

$$3y^2 — 5y — 2 = 0, \quad D = 25 + 24 = 49$$

Корни:

$$y_1 = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = 2$$

2. Решение:

• $\tg x = -\tfrac{1}{3} \Rightarrow x = -\arctg\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$
• $\tg x = 2 \Rightarrow x = \arctg 2 + \pi n$

Итог (г):

$$\boxed{{\displaystyle x=-\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{3}\right)+\pi n;x=\mathrm{arctg}2+\pi n}}$$