ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.44 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\mathrm{\mid }\cos x\mathrm{\mid }=2\cos x-\sqrt{3}\sin x;$$

б)

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$$

Решить уравнение:

а)

$$|\cos x| = 2\cos x — \sqrt{3}\sin x;$$

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$\cos x = 2\cos x — \sqrt{3}\sin x;$$ $$\cos x — \sqrt{3}\sin x = 0 \quad |:\cos x;$$ $$1 — \sqrt{3}\,tg\,x = 0;$$ $$\sqrt{3}\,tg\,x = 1;$$ $$tg\,x = \dfrac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = \arctg\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \dfrac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x_1 = \dfrac{\pi}{6} + \pi(2k) = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \dfrac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$\left(\cos\dfrac{\pi}{6} > 0,\ \cos\dfrac{7\pi}{6} < 0\right);$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$-\cos x = 2\cos x — \sqrt{3}\sin x;$$ $$3\cos x — \sqrt{3}\sin x = 0 \quad |:\sqrt{3}\cos x;$$ $$\sqrt{3} — tg\,x = 0;$$ $$tg\,x = \sqrt{3};$$ $$x = \arctg\sqrt{3} + \pi n = \dfrac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x_1 = \dfrac{\pi}{3} + \pi(2k) = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \dfrac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$\left(\cos\dfrac{\pi}{3} > 0,\ \cos\dfrac{4\pi}{3} < 0\right);$$

Ответ:

$$\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k.$$

б)

$$\sin x = \sqrt{3}\cos x + 2|\sin x|;$$

Если $\sin x > 0$, тогда:

$$\sin x = \sqrt{3}\cos x + 2\sin x;$$ $$\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0 \quad |:\cos x;$$ $$tg\,x + \sqrt{3} = 0;$$ $$tg\,x = -\sqrt{3};$$ $$x = -\arctg\sqrt{3} + \pi n = -\dfrac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x_1 = -\dfrac{\pi}{3} + \pi(2k) = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$x_2 = -\dfrac{\pi}{3} + \pi(2k+1) = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$\left(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) < 0,\ \sin\dfrac{2\pi}{3} > 0\right);$$

Если $\sin x < 0$, тогда:

$$\sin x = \sqrt{3}\cos x — 2\sin x;$$ $$3\sin x — \sqrt{3}\cos x = 0 \quad |:\sqrt{3}\cos x;$$ $$\sqrt{3}\,tg\,x — 1 = 0;$$ $$\sqrt{3}\,tg\,x = 1;$$ $$tg\,x = \dfrac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = \arctg\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \dfrac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x_1 = \dfrac{\pi}{6} + \pi(2k) = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \dfrac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$\left(\sin\dfrac{\pi}{6} > 0,\ \sin\dfrac{7\pi}{6} < 0\right);$$

Ответ:

$$\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k;\ \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k.$$

а) Уравнение:

$$\boxed{\,|\cos x| = 2\cos x — \sqrt{3}\sin x\,}$$

Рассмотрим два случая по знаку $\cos x$.

1) Случай $\cos x > 0$

В этом случае $|\cos x| = \cos x$. Уравнение:

$$\cos x = 2\cos x — \sqrt{3}\sin x$$

Переносим $\cos x$ вправо:

$$\cos x — \sqrt{3}\sin x = 0$$

Делим на $\cos x$ (не ноль по условию):

$$1 — \sqrt{3}\, \tan x = 0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{3}\,\tan x = 1 \quad\Rightarrow\quad \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Общее решение:

$$x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Разложение на шаблоны:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi(2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad(\cos > 0\ \checkmark)$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6} + \pi(2k + 1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \quad(\cos < 0\ \text{— не подходит})$$

Вывод для этого случая:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$

2) Случай $\cos x < 0$

Тогда $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение:

$$-\cos x = 2\cos x — \sqrt{3}\sin x \quad\Rightarrow\quad 3\cos x — \sqrt{3}\sin x = 0$$

Делим на $\cos x$ (отлично от нуля):

$$3 — \sqrt{3}\, \tan x = 0 \quad\Rightarrow\quad \tan x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Общее решение:

$$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Разбиваем:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi(2k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos > 0\ \text{— не подходит})$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos < 0\ \checkmark)$$

Вывод для этого случая:

$$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$$

Итоговый ответ (a):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k}$$

б) Уравнение:

$$\boxed{\,\sin x = \sqrt{3}\cos x + 2|\sin x|\,}$$

Рассматриваем два случая по знаку $\sin x$.

1) Случай $\sin x > 0$

Тогда $|\sin x| = \sin x$. Уравнение:

$$\sin x = \sqrt{3}\cos x + 2\sin x \quad\Rightarrow\quad -\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0 \quad\Rightarrow\quad \tan x = \sqrt{3}$$

Общее решение:

$$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Разбиение:

$$x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (\sin > 0\ \checkmark)$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \quad (\sin < 0\ \text{— не подходит})$$

Вывод для этого случая:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$

2) Случай $\sin x < 0$

Тогда $|\sin x| = -\sin x$. Уравнение:

$$\sin x = \sqrt{3}\cos x — 2\sin x \quad\Rightarrow\quad 3\sin x — \sqrt{3}\cos x = 0 \quad\Rightarrow\quad \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Общее решение:

$$x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Разбиение:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad (\sin > 0\ \text{— не подходит})$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6} + \pi(2k + 1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \quad (\sin < 0\ \checkmark)$$

Вывод для этого случая:

$$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$$

Итоговый ответ (б):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k}$$

Итог:

a) $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

б) $\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или ${\displaystyle x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k}$