ГДЗ 10-11 Класс Номер 18.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$;

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$;

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x — 3 = 0$;

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$

Решить уравнение:

а) $3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$;
Пусть $y = \sin x$, тогда:
$3y^2 — 5y — 2 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ и $y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$;
Первое значение:
$\sin x = -\frac{1}{3}$;
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$;
Второе значение:
$\sin x = 2 > 1$;
$x \in \varnothing$;
Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$.

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$;
Пусть $y = \sin 2x$, тогда:
$3y^2 + 10y + 3 = 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$, тогда:
$y_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = -\frac{18}{6} = -3$;
$y_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$;
Первое значение:
$\sin 2x = -3 < -1$;
$x \in \varnothing$;
Второе значение:
$\sin 2x = -\frac{1}{3}$;
$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$;
$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}$;
Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}$.

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x — 3 = 0$;
Пусть $y = \sin x$, тогда:
$4y^2 + 11y — 3 = 0$;
$D = 11^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 121 + 48 = 169$, тогда:
$y_1 = \frac{-11 — 13}{2 \cdot 4} = -\frac{24}{8} = -3$;
$y_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$;
Первое значение:
$\sin x = -3 < -1$;
$x \in \varnothing$;
Второе значение:
$\sin x = \frac{1}{4}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$;
Ответ: $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$.

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$;
Пусть $y = \sin \frac{x}{2}$, тогда:
$2y^2 — 3y + 1 = 0$;
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$;
Первое значение:
$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$;
$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
Второе значение:
$\sin \frac{x}{2} = 1$;
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = \pi + 4\pi n$;
Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \pi + 4\pi n$.

а) $3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$

Шаг 1. Введем замену:

$$y = \sin x$$

Подставим в уравнение:

$$3y^2 — 5y — 2 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение.

Находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $\sin x$.

• Первый корень:

$$\sin x = -\frac{1}{3}$$

Решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{3}$ на множестве всех действительных чисел:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Пояснение: это общая формула для решения $\sin x = a$, когда $a \in [-1,1]$.

• Второй корень:

$$\sin x = 2$$

Но синус не может быть больше 1, значит:

$$x \in \varnothing$$

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$

Шаг 1. Замена:

$$y = \sin 2x$$

Получаем уравнение:

$$3y^2 + 10y + 3 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$ $$y_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$$ $$y_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $\sin 2x$.

• Первый корень:

$$\sin 2x = -3 \Rightarrow \text{не имеет решений, т.к. } \sin \in [-1, 1]$$

• Второй корень:

$$\sin 2x = -\frac{1}{3}$$

Решаем уравнение:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x — 3 = 0$

Шаг 1. Замена:

$$y = \sin x \Rightarrow 4y^2 + 11y — 3 = 0$$

Шаг 2. Найдём дискриминант:

$$D = 11^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 121 + 48 = 169$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-11 — 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$$ $$y_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $\sin x$.

• Первый корень:

$$\sin x = -3 \Rightarrow \text{нет решений, т.к. синус не меньше -1}$$

• Второй корень:

$$\sin x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$$

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$

Шаг 1. Замена:

$$y = \sin\left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow 2y^2 — 3y + 1 = 0$$

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Шаг 3. Возвращаемся к переменной $\sin \frac{x}{2}$.

• Первый корень:

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = 2 \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

• Второй корень:

$$\sin \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 4\pi n$$

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \quad x = \pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$