ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а)

$$\sin (\frac{\pi }{6}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}-t)+\sin (\frac{2\pi }{3}+t)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}-t)$$

б)

$$\cos (\frac{\pi }{4}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{12}-t)-\cos (\frac{\pi }{4}-t)\cdot \cos (\frac{5\pi }{12}+t)$$

Вычислить значение:

а)

$$\sin (\frac{\pi }{6}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{3}-t)+\sin (\frac{2\pi }{3}+t)\cdot \sin (\frac{\pi }{3}-t)=$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} — t\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3} + t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} — t\right) =$$ $$=\sin (\frac{\pi }{6}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{6}+t))+\sin (\frac{\pi }{2}+(\frac{\pi }{6}+t))\cdot \sin (\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{6}+t))=$$

$$= \sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{6} + t\right)\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \left(\frac{\pi}{6} + t\right)\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{6} + t\right)\right) =$$ $$=\sin (\frac{\pi }{6}+t)\cdot \sin (\frac{\pi }{6}+t)+\cos (\frac{\pi }{6}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{6}+t)=$$

$$= \sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} + t\right) =$$ $$= \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + t\right) — \left(\frac{\pi}{6} + t\right)\right) = \cos 0 = 1;$$

Ответ: $1$.

б)

$$\cos (\frac{\pi }{4}+t)\cdot \cos (\frac{\pi }{12}-t)-\cos (\frac{\pi }{4}-t)\cdot \cos (\frac{5\pi }{12}+t)=$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} — t\right) — \cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{12} + t\right) =$$ $$=\cos (\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{4}-t))\cdot \cos (\frac{\pi }{12}-t)-\cos (\frac{\pi }{4}-t)\cdot \cos (\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{12}-t))=$$

$$= \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} — t\right)\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} — t\right) — \cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{12} — t\right)\right) =$$ $$=\sin (\frac{\pi }{4}-t)\cdot \cos (\frac{\pi }{12}-t)-\cos (\frac{\pi }{4}-t)\cdot \sin (\frac{\pi }{12}-t)=$$

$$= \sin\left(\frac{\pi}{4} — t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} — t\right) — \cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} — t\right) =$$ $$= \sin\left(\left(\frac{\pi}{4} — t\right) — \left(\frac{\pi}{12} — t\right)\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

а)

$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} — t\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3} + t\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} — t\right)$$

Шаг 1: Преобразуем аргументы во втором слагаемом

Заметим, что:

$$\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6}$$

Следовательно:

• $\frac{2\pi}{3} + t = \frac{\pi}{2} + \left( \frac{\pi}{6} + t \right)$
• $\frac{\pi}{3} — t = \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{6} + t \right)$

Шаг 2: Перепишем всё выражение с заменой

$$= \sin\left(\frac{\pi}{6} + t\right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{6} + t \right) \right) + \sin\left( \frac{\pi}{2} + \left( \frac{\pi}{6} + t \right) \right) \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{6} + t \right) \right)$$

Шаг 3: Используем тригонометрические тождества

• $\cos\left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \sin x$
• $\sin\left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos x$
• $\sin\left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \cos x$

Тогда:

$$= \sin\left( \frac{\pi}{6} + t \right) \cdot \sin\left( \frac{\pi}{6} + t \right) + \cos\left( \frac{\pi}{6} + t \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{6} + t \right)$$

Шаг 4: Сложим квадраты синуса и косинуса

$$\sin^2\left( \frac{\pi}{6} + t \right) + \cos^2\left( \frac{\pi}{6} + t \right) = 1 \quad \text{(по основному тригонометрическому тождеству)}$$

Ответ: $1$

б)

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + t\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} — t\right) — \cos\left(\frac{\pi}{4} — t\right) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{12} + t\right)$$

Шаг 1: Преобразуем аргументы во втором множителе каждого слагаемого

Заметим:

• $\frac{\pi}{4} + t = \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{4} — t \right)$
• $\frac{5\pi}{12} + t = \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{12} — t \right)$

Проверим:

$$\frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{4} — t \right) = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + t = \frac{\pi}{4} + t$$ $$\frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{12} — t \right) = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{12} + t = \frac{5\pi}{12} + t$$

Шаг 2: Подставим преобразованные выражения

$$= \cos\left( \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{4} — t \right) \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{12} — t \right) — \cos\left( \frac{\pi}{4} — t \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{12} — t \right) \right)$$

Шаг 3: Используем формулу: $\cos\left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \sin x$

$$= \sin\left( \frac{\pi}{4} — t \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{12} — t \right) — \cos\left( \frac{\pi}{4} — t \right) \cdot \sin\left( \frac{\pi}{12} — t \right)$$

Шаг 4: Применим формулу разности синусов

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B)$$

Где:

• $A = \frac{\pi}{4} — t$
• $B = \frac{\pi}{12} — t$

$$= \sin\left( \left( \frac{\pi}{4} — t \right) — \left( \frac{\pi}{12} — t \right) \right) = \sin\left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{12} \right)$$

Шаг 5: Приведём к общему знаменателю

$$\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi — \pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 6: Подставим табличное значение

$$\sin\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$