ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{\sqrt{2}\cos a-2\cos (\frac{\pi }{4}-a)}{2\sin (\frac{\pi }{6}+a)-\sqrt{3}\sin a}=-\sqrt{2}tga$$

б)

$$\frac{\cos a-2\cos (\frac{\pi }{3}+a)}{2\sin (a-\frac{\pi }{6})-\sqrt{3}\sin a}=-\sqrt{3}tga$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right)}{2 \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{2} \, tg \, a;$$ $$\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \left( \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin a \right)}{2 \left( \sin\frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \cos\frac{\pi}{6} \cdot \sin a \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{2} \, tg \, a;$$ $$\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right)}{2 \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{2} \, tg \, a;$$ $$\frac{\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \sin a}{\cos a + \sqrt{3} \sin a — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{2} \, tg \, a;$$ $$\frac{-\sqrt{2} \sin a}{\cos a} = -\sqrt{2} \, tg \, a;$$ $$-\sqrt{2} \, tg \, a = -\sqrt{2} \, tg \, a;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos a — 2 \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)}{2 \sin\left(a — \frac{\pi}{6}\right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{3} \, tg \, a;$$ $$\frac{\cos a — 2 \left( \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos a — \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin a \right)}{2 \left( \sin a \cdot \cos\frac{\pi}{6} — \cos a \cdot \sin\frac{\pi}{6} \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{3} \, tg \, a;$$ $$\frac{\cos a — 2 \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right)}{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a \right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{3} \, tg \, a;$$ $$\frac{\cos a — \cos a + \sqrt{3} \sin a}{\sqrt{3} \sin a — \cos a — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{3} \, tg \, a;$$ $$\frac{\sqrt{3} \sin a}{-\cos a} = -\sqrt{3} \, tg \, a;$$ $$-\sqrt{3} \, tg \, a = -\sqrt{3} \, tg \, a;$$

Тождество доказано.

а)

$$\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right)}{2 \sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{2} \cdot \tg a$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

Используем формулу:

$$\cos(x — y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$$

Подставим:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin a$$

Значения:

• $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a$$

Теперь подставим это в числитель:

$$\sqrt{2} \cos a — 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right)$$

Раскроем скобки:

$$\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \sin a = -\sqrt{2} \sin a$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Используем формулу:

$$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$$

Подставим:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) = \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$

Теперь подставим в знаменатель:

$$2 \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \sin a = \cos a + \sqrt{3} \sin a — \sqrt{3} \sin a = \cos a$$

Шаг 3: Сборка дроби

$$\frac{-\sqrt{2} \sin a}{\cos a} = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = -\sqrt{2} \cdot \tg a$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos a — 2 \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right)}{2 \sin\left(a — \frac{\pi}{6}\right) — \sqrt{3} \sin a} = -\sqrt{3} \cdot \tg a$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

Формула:

$$\cos(x + y) = \cos x \cos y — \sin x \sin y$$

Подставим:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a$$

Теперь подставим в числитель:

$$\cos a — 2 \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) = \cos a — \cos a + \sqrt{3} \sin a = \sqrt{3} \sin a$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Формула:

$$\sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y$$

Подставим:

$$\sin\left(a — \frac{\pi}{6}\right) = \sin a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \cos a \cdot \frac{1}{2}$$

Теперь в знаменатель:

$$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a \right) — \sqrt{3} \sin a = \sqrt{3} \sin a — \cos a — \sqrt{3} \sin a = -\cos a$$

Шаг 3: Сборка дроби

$$\frac{\sqrt{3} \sin a}{-\cos a} = -\sqrt{3} \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = -\sqrt{3} \cdot \tg a$$

Тождество доказано.