ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $$$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \frac{1}{2}$

б) $$$\cos 5x \cdot \cos 7x — \sin 5x \cdot \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решить уравнение:

а) $$$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \frac{1}{2}$;

$\sin(6x + x) = \frac{1}{2}$;

$\sin 7x = \frac{1}{2}$;

$7x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$x = \frac{1}{7} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}$.

б) $$$\cos 5x \cdot \cos 7x — \sin 5x \cdot \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\cos(5x + 7x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\cos 12x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$12x = \pm\left(\pi — \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) + 2\pi n$;

$12x = \pm\left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;

$x = \frac{1}{12} \cdot \left( \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm\frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}$;

Ответ: $\pm\frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}$.

а)

$$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Узнаём тригонометрическую формулу

Это соответствует формуле синуса суммы углов:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Применим её:

$$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \sin(6x + x) = \sin(7x)$$

Шаг 2: Получаем новое уравнение

$$\sin(7x) = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Решаем уравнение $\sin \theta = \frac{1}{2}$

Общее решение уравнения:

$$\theta = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Значение:

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Подставим:

$$7x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 4: Выразим $x$

Разделим обе части на 7:

$$x = \frac{1}{7} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{42} + \frac{\pi n}{7}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

$$\cos 5x \cdot \cos 7x — \sin 5x \cdot \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 1: Узнаём формулу

Это — формула косинуса суммы углов:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$

Применим:

$$\cos 5x \cdot \cos 7x — \sin 5x \cdot \sin 7x = \cos(5x + 7x) = \cos(12x)$$

Шаг 2: Получаем новое уравнение

$$\cos(12x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Решаем уравнение $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение:

$$\theta = \pm(\pi — \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Значение:

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Подставим:

$$12x = \pm\left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 4: Выразим $x$

Разделим обе части на 12:

$$x = \frac{1}{12} \left( \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm\frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pm\frac{5\pi}{72} + \frac{\pi n}{6}}, \quad n \in \mathbb{Z}$$