ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьший положительный корень (в градусах) уравнения:

а) $$$\sin x \cdot \cos 45^\circ + \cos x \cdot \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cdot \cos 13^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 13^\circ$;

б) $$$\cos x \cdot \cos 60^\circ — \sin x \cdot \sin 60^\circ = \sin 200^\circ \cdot \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \cdot \sin 25^\circ$

Найти наименьший положительный корень уравнения:

а) $$$\sin x \cdot \cos 45^\circ + \cos x \cdot \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cdot \cos 13^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 13^\circ$;
$\sin(x + 45^\circ) = \cos(17^\circ + 13^\circ)$;
$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos 30^\circ$;
$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;
$x_1 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k) = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$;
$x_2 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k$;

Наименьший положительный корень:
$x = \frac{\pi}{12} = \left(\frac{180}{\pi} \cdot \frac{\pi}{12}\right)^\circ = 15^\circ$;
Ответ: $15^\circ$.

б) $$$\cos x \cdot \cos 60^\circ — \sin x \cdot \sin 60^\circ = \sin 200^\circ \cdot \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \cdot \sin 25^\circ$;
$\cos(x + 60^\circ) = \sin(200^\circ + 25^\circ)$;
$\cos(x + 60^\circ) = \sin(180^\circ + 45^\circ)$;
$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin 45^\circ$;
$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$x + \frac{\pi}{3} = \pm \left(\pi — \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;
$x_1 = -\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n$;
$x_2 = \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$;

Наименьший положительный корень:
$x = \frac{5\pi}{12} = \left(\frac{180}{\pi} \cdot \frac{5\pi}{12}\right)^\circ = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$;
Ответ: $75^\circ$.

а)

$$\sin x \cdot \cos 45^\circ + \cos x \cdot \sin 45^\circ = \cos 17^\circ \cdot \cos 13^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 13^\circ$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Используем формулу синуса суммы:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Значит:

$$\sin x \cdot \cos 45^\circ + \cos x \cdot \sin 45^\circ = \sin(x + 45^\circ)$$

Переходим в радианы:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$ $$\cos 17^\circ \cdot \cos 13^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 13^\circ = \cos(17^\circ + 13^\circ) = \cos 30^\circ$$

Переходим в радианы:

$$\cos 30^\circ = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Получаем уравнение

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Решаем уравнение

Общее решение:

$$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n$$

Значение:

$$\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$

Тогда:

$$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 5: Выразим $x$

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n — \frac{\pi}{4}$$

Рассмотрим два случая:

Для чётного $n = 2k$:

$$(-1)^{2k} = 1$$ $$x = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{4\pi — 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k$$

Для нечётного $n = 2k + 1$:

$$(-1)^{2k + 1} = -1$$ $$x = -\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) = -\frac{4\pi + 3\pi}{12} + \pi(2k + 1) = -\frac{7\pi}{12} + \pi(2k + 1)$$ $$= \pi(2k + 1) — \frac{7\pi}{12} = \frac{12\pi(2k + 1) — 7\pi}{12} = \frac{(24k + 5)\pi}{12}$$

Наименьший положительный корень даёт чётное $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{12} = 15^\circ$$

Ответ:

$$\boxed{15^\circ}$$

б)

$$\cos x \cdot \cos 60^\circ — \sin x \cdot \sin 60^\circ = \sin 200^\circ \cdot \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \cdot \sin 25^\circ$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Формула косинуса суммы:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$ $$\cos x \cdot \cos 60^\circ — \sin x \cdot \sin 60^\circ = \cos(x + 60^\circ)$$

Переводим:

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Формула синуса суммы:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$ $$\sin 200^\circ \cdot \cos 25^\circ + \cos 200^\circ \cdot \sin 25^\circ = \sin(200^\circ + 25^\circ) = \sin 225^\circ$$

Переводим:

$$\sin 225^\circ = \sin\left(180^\circ + 45^\circ\right) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Получаем уравнение

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Решаем уравнение

Общее решение:

$$x + \frac{\pi}{3} = \pm \left(\pi — \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) + 2\pi n$$

Значение:

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Значит:

$$x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 5: Выразим $x$

Случай 1:

$$x = \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{9\pi — 4\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$$

Случай 2:

$$x = -\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{-9\pi — 4\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n$$

Наименьший положительный корень — при $n = 0$ в первом случае:

$$x = \frac{5\pi}{12} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 75^\circ$$

Ответ:

$$\boxed{75^\circ}$$