ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $$$\sin(a + \beta) — \sin a \cdot \cos \beta =$

б) $$$\sin\left(\frac{\pi}{3} + a\right) — \frac{1}{2}\sin a = \left(\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos a + \cos\frac{\pi}{3} \cdot \sin a\right) — \frac{1}{2}\sin a =$

в) $$$\sin a \cdot \sin \beta + \cos(a + \beta) =$

г) $$$\cos (a+\frac{\pi }{4})+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$

Упростить выражение:

а) $$$\sin(a + \beta) — \sin a \cdot \cos \beta =$
$= (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \cos \beta = \cos a \cdot \sin \beta;$
Ответ: $\cos a \cdot \sin \beta.$

б) $$$\sin\left(\frac{\pi}{3} + a\right) — \frac{1}{2}\sin a = \left(\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos a + \cos\frac{\pi}{3} \cdot \sin a\right) — \frac{1}{2}\sin a =$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a — \frac{1}{2}\sin a = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a;$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a.$

в) $$$\sin a \cdot \sin \beta + \cos(a + \beta) =$
$= \sin a \cdot \sin \beta + (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) = \cos a \cdot \cos \beta;$
Ответ: $\cos a \cdot \cos \beta.$

г) $$$\cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a = \left(\cos a \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \sin a \cdot \sin\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a =$
$= \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a — \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a;$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a\mathrm{.}$

а) $\sin(a + \beta) — \sin a \cdot \cos \beta$

Шаг 1. Применим формулу синуса суммы углов:

$$\sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2. Подставим в исходное выражение:

$$\sin(a + \beta) — \sin a \cdot \cos \beta = (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \cos \beta$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$= \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta — \sin a \cdot \cos \beta$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$\sin a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \cos \beta = 0$$ $$\Rightarrow \text{остается: } \cos a \cdot \sin \beta$$

Ответ а):

$$\boxed{\cos a \cdot \sin \beta}$$

б) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + a\right) — \frac{1}{2}\sin a$

Шаг 1. Используем формулу синуса суммы:

$$\sin(x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$$

Заменим:

$$x = \frac{\pi}{3},\quad y = a$$ $$\Rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos a + \cos\frac{\pi}{3} \cdot \sin a$$

Шаг 2. Подставим точные значения:

• $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos a + \frac{1}{2} \cdot \sin a$$

Шаг 3. Подставим это в исходное выражение:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3} + a\right) — \frac{1}{2}\sin a = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a + \frac{1}{2}\sin a\right) — \frac{1}{2}\sin a$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$\frac{1}{2}\sin a — \frac{1}{2}\sin a = 0$$ $$\Rightarrow \text{остается: } \frac{\sqrt{3}}{2}\cos a$$

Ответ б):

$$\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a}$$

в) $\sin a \cdot \sin \beta + \cos(a + \beta)$

Шаг 1. Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

Шаг 2. Подставим в выражение:

$$\sin a \cdot \sin \beta + \cos(a + \beta) = \sin a \cdot \sin \beta + (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta)$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$= \sin a \cdot \sin \beta + \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$\sin a \cdot \sin \beta — \sin a \cdot \sin \beta = 0$$ $$\Rightarrow \text{остается: } \cos a \cdot \cos \beta$$

Ответ в):

$$\boxed{\cos a \cdot \cos \beta}$$

г) $\cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$

Шаг 1. Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b — \sin a \cdot \sin b$$

Пусть:

$$b = \frac{\pi}{4}$$ $$\Rightarrow \cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \cos a \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \sin a \cdot \sin\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Подставим точные значения:

• $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a — \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$$

Шаг 3. Подставим в исходное выражение:

$$\cos\left(a + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a — \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a \right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$— \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin a = 0$$ $$\Rightarrow \text{остается: } \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a$$

Ответ г):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cos a}}$$