ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) — \cos x = 0{,}5$

б) $\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решить уравнение:

а) $\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) — \cos x = 0{,}5$;

$\sqrt{2} \left(\cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin x\right) — \cos x = \frac{1}{2}$;

$\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x\right) — \cos x = \frac{1}{2}$;

$\cos x + \sin x — \cos x = \frac{1}{2}$;

$\sin x = \frac{1}{2}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

б) $\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\sqrt{2} \left(\sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{x}{2} — \cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\cos\frac{x}{2} — \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\frac{x}{2} = \pm \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;

$x = 2 \cdot \left(\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n$;

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n$.

а)

$$\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) — \cos x = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Раскроем скобки по формуле косинуса разности:

$$\cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

Применим к $\cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right)$:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin x$$

Шаг 2: Подставим значения $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x$$

Теперь подставим в исходное уравнение:

$$\sqrt{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right) — \cos x = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Упростим выражение:

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \Rightarrow \cos x + \sin x — \cos x = \frac{1}{2}$$ $$\sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$

Общее решение:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n \Rightarrow \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$ $$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

Ответ (а):

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

б)

$$\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 1: Раскроем скобки по формуле синуса разности:

$$\sin(\alpha — \beta) = \sin\alpha \cos\beta — \cos\alpha \sin\beta$$

Пусть:

$$\alpha = \frac{\pi}{4}, \quad \beta = \frac{x}{2}$$

Тогда:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{x}{2} — \cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{x}{2}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$\sqrt{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\frac{x}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\frac{x}{2} \right) + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Упростим

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \Rightarrow \cos\frac{x}{2} — \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Решим уравнение $\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Общее решение:

$$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \Rightarrow x = 2 \cdot \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) \Rightarrow \boxed{x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n}$$

Ответ (б):

$$\boxed{\pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n}$$