ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$

б)

$$\sin x-\cos x=1$$

в)

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1$$

г)

$$\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$$

Решить уравнение:

а)

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1;$$ $$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = 1;$$ $$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1;$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

б)

$$\sin x — \cos x = 1 \quad \left| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right.;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi (2k + 1) = \pi + 2\pi k;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k$.

в)

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 1;$$ $$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = 1;$$ $$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = 1;$$ $$x — \frac{\pi}{6} = 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

г)

$$\sqrt{3} \cos x + \sin x = 1 \quad \left| \cdot \frac{1}{2} \right.;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2};$$ $$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin x = \frac{1}{2};$$ $$\cos \left( x — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

а)

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$

Шаг 1. Узнаем шаблон формулы синуса разности:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$

Если положить $\beta=\dfrac{\pi}{4}$, то $\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, и левая часть становится

$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Шаг 2. Получаем простое уравнение:

$$\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Шаг 3. Общее решение $\sin y=1$:

$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n}$.

б)

$$\sin x-\cos x=1$$

Шаг 1. Домножим обе части на $\dfrac{\sqrt2}{2}$ — так получим коэффициенты $\cos\dfrac{\pi}{4}$ и $\sin\dfrac{\pi}{4}$:

$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Шаг 2. Свернём левую часть в синус разности (как в пункте а)):

$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Шаг 3. Решаем $\sin y=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Это происходит в I и II четвертях:

$$y=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad y=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Шаг 4. Возвращаемся к $x$:

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi k \ \Rightarrow\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k;$$ $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \ \Rightarrow\ x=\pi+2\pi k.$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \ \pi+2\pi k}$.

в)

$$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x=1$$

Шаг 1. Узнаем формулу косинуса разности:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

При $\beta=\dfrac{\pi}{6}$ имеем $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$. Тогда левая часть — это

$$\cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin\frac{\pi}{6}\sin x=\cos\!\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Шаг 2. Получаем уравнение:

$$\cos\!\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Шаг 3. Общее решение $\cos y=1$:

$$y=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{6}=2\pi n \ \Rightarrow\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{\pi}{6}+2\pi n}$.

г)

$$\sqrt3\cos x+\sin x=1$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель $\dfrac12$, чтобы снова получить коэффициенты $\cos\dfrac{\pi}{6}$ и $\sin\dfrac{\pi}{6}$:

$$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x=\frac12.$$

Шаг 2. Свернём левую часть в $\cos\!\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ (как в пункте в)):

$$\cos\!\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

Шаг 3. Решаем $\cos y=\dfrac12$. Это значения в I и IV четвертях:

$$y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Шаг 4. Возвращаемся к $x$:

$$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \ \Rightarrow\ x=\frac{\pi}{6}\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

То есть две серии:

$$x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2\pi n=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}+2\pi n=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ \ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k}$.