ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$

б)

$$\sin x+\cos x=1$$

в)

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=1$$

г)

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$$

Решить уравнение:

а)

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = 1;$$ $$\cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos x = 1;$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1;$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

б)

$$\sin x + \cos x = 1 \quad \left| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right.;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi(2k) = 2\pi k;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$

Ответ: $2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

в)

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x = 1;$$ $$\cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos x — \sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin x = 1;$$ $$\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1;$$ $$x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

г)

$$\sqrt{3}\cos x — \sin x = 1 \quad \left| \cdot \frac{1}{2} \right.;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x — \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2};$$ $$\cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos x — \sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin x = \frac{1}{2};$$ $$\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

а)

$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x=1$$

Шаг 1. Свертка в синус суммы.
Напомним формулу:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta .$$

Положим $\beta=\dfrac{\pi}{4}$, тогда $\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Левая часть равна

$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x+\sin\frac{\pi}{4}\cos x=\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Шаг 2. Получаем простое уравнение.

$$\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Шаг 3. Решаем $\sin y=1$.
Общее решение: $y=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.
Значит,

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ \Rightarrow\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{\pi}{4}+2\pi n}$.

б)

$$\sin x+\cos x=1$$

Шаг 1. Приводим к коэффициентам $\dfrac{\sqrt2}{2}$. Домножим обе части на $\dfrac{\sqrt2}{2}$:

$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Шаг 2. Свертка в синус суммы. Как и в пункте (а),

$$\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Шаг 3. Решаем $\sin y=\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Синус принимает $\dfrac{\sqrt2}{2}$ при $y=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$ и $y=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Шаг 4. Возвращаемся к $x$.

$$\begin{aligned} &x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad\Rightarrow\quad x=2\pi k;\\ &x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \end{aligned}$$

Ответ: $\boxed{2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k}$.

в)

$$\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=1$$

Шаг 1. Свертка в косинус суммы.
Формула:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

При $\beta=\dfrac{\pi}{6}$: $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$. Тогда

$$\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x.$$

Следовательно уравнение эквивалентно

$$\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Шаг 2. Решаем $\cos y=1$.
Общее решение: $y=2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.
Значит,

$$x+\frac{\pi}{6}=2\pi n\ \Rightarrow\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n}$.

г)

$$\sqrt3\cos x-\sin x=1$$

Шаг 1. Нормируем коэффициенты. Разделим на $2$:

$$\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=\frac12.$$

Шаг 2. Свертка в косинус суммы (как в (в)).

$$\cos\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

Шаг 3. Решаем $\cos y=\dfrac12$.
Косинус равен $\dfrac12$ при

$$y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Шаг 4. Возвращаемся к $x$.

$$x+\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \ \Rightarrow\ \begin{cases} x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2\pi n=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\\[4pt] x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}+2\pi n=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n. \end{cases}$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k}$.