ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\sin t = \tfrac{3}{5}$ и $0<t<\frac{\pi }{2}$, вычислите:

а)

$$\sin (\frac{\pi }{3}+t)$$

б)

$$\cos (\frac{\pi }{2}+t)$$

в)

$$\sin (\frac{\pi }{2}+t)$$

г)

$$\cos (\frac{\pi }{3}+t)$$

Известно, что $\sin t = \tfrac{3}{5}$ и $0 < t < \tfrac{\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t} = \sqrt{\tfrac{25}{25} — \tfrac{9}{25}} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \tfrac{4}{5};$$

а)

$$\sin\left(\tfrac{\pi}{3} + t\right) = \sin\tfrac{\pi}{3} \cdot \cos t + \cos\tfrac{\pi}{3} \cdot \sin t = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \tfrac{4}{5} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{4\sqrt{3} + 3}{10};$$

Ответ: $\tfrac{4\sqrt{3} + 3}{10}$.

б)

$$\cos\left(\tfrac{\pi}{2} + t\right) = \cos\tfrac{\pi}{2} \cdot \cos t — \sin\tfrac{\pi}{2} \cdot \sin t = 0 \cdot \tfrac{4}{5} — 1 \cdot \tfrac{3}{5} = -\tfrac{3}{5};$$

Ответ: $-\tfrac{3}{5}$.

в)

$$\sin\left(\tfrac{\pi}{2} + t\right) = \sin\tfrac{\pi}{2} \cdot \cos t — \cos\tfrac{\pi}{2} \cdot \sin t = 1 \cdot \tfrac{4}{5} — 0 \cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{4}{5};$$

Ответ: $\tfrac{4}{5}$.

г)

$$\cos\left(\tfrac{\pi}{3} + t\right) = \cos\tfrac{\pi}{3} \cdot \cos t — \sin\tfrac{\pi}{3} \cdot \sin t = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{5} — \tfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{4 — 3\sqrt{3}}{10};$$

Ответ: $\tfrac{4 — 3\sqrt{3}}{10}$.

Дано и подготовка

$$\sin t=\frac{3}{5},\qquad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

• Промежуток $(0,\tfrac{\pi}{2})$ — это I четверть, где и $\sin t>0$, и $\cos t>0$.
• Найдём $\cos t$ из основного тождества $\sin^2 t+\cos^2 t=1$:

$$\cos t=\sqrt{\,1-\sin^2 t\,} =\sqrt{\,1-\left(\frac{3}{5}\right)^2\,} =\sqrt{\,1-\frac{9}{25}\,} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac{4}{5}.$$

(берём плюс, т.к. I четверть.)

• Полезные табличные значения:

$$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad \sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \cos\frac{\pi}{2}=0.$$

а) $\displaystyle \sin\Bigl(\frac{\pi}{3}+t\Bigr)$

Формула

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Подстановка

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{3}+t\right) =\sin\frac{\pi}{3}\,\cos t+\cos\frac{\pi}{3}\,\sin t =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4}{5}+\frac12\cdot\frac{3}{5}.$$

Аккуратные вычисления по дробям

$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4\sqrt3}{10},\qquad \frac12\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}.$$

Складываем:

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\frac{4\sqrt3+3}{10}.$$

Проверка знака/диапазона

• $\frac{\pi}{3}+t\in\left(\frac{\pi}{3},\,\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)=(60^\circ,150^\circ)$ ⇒ значение синуса в I–II четвертях положительно.
• $\dfrac{4\sqrt3+3}{10}\approx\dfrac{4\cdot1.732+3}{10}\approx\dfrac{6.928+3}{10}\approx0.9928\in(0,1)$ — ок.

Ответ: $\boxed{\dfrac{4\sqrt3+3}{10}}$.

б) $\displaystyle \cos\Bigl(\frac{\pi}{2}+t\Bigr)$

Есть два равноценных пути.

Путь 1: Формула суммы

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Подставляем:

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right) =\cos\frac{\pi}{2}\cos t-\sin\frac{\pi}{2}\sin t =0\cdot\frac45-1\cdot\frac35=-\frac35.$$

Путь 2: Ко-функция и сдвиг квадранта

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t \quad\Rightarrow\quad -\frac{3}{5}.$$

(Минус — потому что $\frac{\pi}{2}+t\in(\tfrac{\pi}{2},\pi)$, II четверть, где косинус отрицателен.)

Ответ: $\boxed{-\dfrac{3}{5}}$.

в) $\displaystyle \sin\Bigl(\frac{\pi}{2}+t\Bigr)$

Путь 1: Формула суммы

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$ $$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right) =\sin\frac{\pi}{2}\cos t+\cos\frac{\pi}{2}\sin t =1\cdot\frac45+0\cdot\frac35=\frac45.$$

Путь 2: Ко-функция

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\cos t=\frac{4}{5}.$$

(И это логично: $\frac{\pi}{2}+t$ во II четверти, где синус положителен.)

Ответ: $\boxed{\dfrac{4}{5}}$.

г) $\displaystyle \cos\Bigl(\frac{\pi}{3}+t\Bigr)$

Формула

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Подстановка

$$\cos\!\left(\frac{\pi}{3}+t\right) =\cos\frac{\pi}{3}\cos t-\sin\frac{\pi}{3}\sin t =\frac12\cdot\frac45-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac35.$$

Вычисления

$$\frac12\cdot\frac45=\frac{4}{10},\qquad \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac35=\frac{3\sqrt3}{10}.$$ $$\cos\!\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\frac{4-3\sqrt3}{10}.$$

Проверка знака/диапазона

• $\frac{\pi}{3}+t\in(60^\circ,150^\circ)$ ⇒ вблизи $90^\circ$ косинус меняет знак, но для нашего $t$ (см. ниже) значение должно быть отрицательным.
• При $\sin t=3/5$ получаем $t\approx\arcsin(0.6)\approx36.87^\circ$. Тогда $\frac{\pi}{3}+t\approx60^\circ+36.87^\circ=96.87^\circ$ (II четверть) ⇒ $\cos<0$.
• $\dfrac{4-3\sqrt3}{10}\approx\dfrac{4-5.196}{10}\approx-0.1196$ — отрицательно, в $[-1,1]$. Всё согласовано.

Ответ: $\boxed{\dfrac{4-3\sqrt3}{10}}$.

Итоговые ответы

а) $\displaystyle \boxed{\frac{4\sqrt3+3}{10}}$

б) $\displaystyle \boxed{-\frac{3}{5}}$

в) $\displaystyle \boxed{\frac{4}{5}}$

г) $\displaystyle \boxed{\frac{4-3\sqrt3}{10}}$