ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\cos a=\frac{15}{17},\cos \beta =\frac{4}{5},0<a<\frac{\pi }{2},0<\beta <\frac{\pi }{2}$, найдите значение выражения:

а) $\sin (a-\beta )$

б) $\cos (a-\beta )$

Известно, что $\cos a = \frac{15}{17},\ \cos \beta = \frac{4}{5},\ 0 < a < \frac{\pi}{2},\ 0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Точки $a$ и $\beta$ принадлежат первой четверти:

$$\sin a = +\sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{\frac{289}{289} — \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17};$$ $$\sin \beta = +\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$

а) $\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$;

$$\sin(a — \beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} — \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{32 — 45}{85} = -\frac{13}{85};$$

Ответ: $-\frac{13}{85}$.

б) $\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$;

$$\cos(a — \beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5} = \frac{60 + 24}{85} = \frac{84}{85};$$

Ответ: $\frac{84}{85}$.

Известно:

• $\cos a = \frac{15}{17}$,
• $\cos \beta = \frac{4}{5}$,
• $0 < a < \frac{\pi}{2}$,
• $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Из этого следует, что углы $a$ и $\beta$ — из первой четверти, где все тригонометрические функции положительны.

Шаг 1: Найдём $\sin a$

Мы знаем, что:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Подставим $\cos a = \frac{15}{17}$:

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 — \frac{225}{289} = \frac{64}{289}$$ $$\sin a = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17} \quad (\text{т.к. } a \in (0, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow \sin a > 0)$$

Шаг 2: Найдём $\sin \beta$

Аналогично:

$$\sin^2 \beta = 1 — \cos^2 \beta = 1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ $$\sin \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \quad (\text{так как } \beta > 0 \text{ и } < \frac{\pi}{2})$$

а) Найдём $\sin(a — \beta)$

Формула:

$$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Подставим значения:

• $\sin a = \frac{8}{17}$,
• $\cos \beta = \frac{4}{5}$,
• $\cos a = \frac{15}{17}$,
• $\sin \beta = \frac{3}{5}$

$$\sin(a — \beta) = \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5} — \frac{15}{17} \cdot \frac{3}{5}$$

Выполняем умножения:

$$\frac{32}{85} — \frac{45}{85} = \frac{32 — 45}{85} = \frac{-13}{85}$$

Ответ а): $-\frac{13}{85}$

б) Найдём $\cos(a — \beta)$

Формула:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$$

Подставим известные значения:

$$\cos(a — \beta) = \frac{15}{17} \cdot \frac{4}{5} + \frac{8}{17} \cdot \frac{3}{5}$$

Посчитаем каждое произведение:

• $\frac{15 \cdot 4}{17 \cdot 5} = \frac{60}{85}$
• $\frac{8 \cdot 3}{17 \cdot 5} = \frac{24}{85}$

Сложим:

$$\cos(a — \beta) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$$

Ответ б): $\frac{84}{85}$

Итоговые ответы:

а) $\sin(a — \beta) = \boxed{-\dfrac{13}{85}}$

б) $\cos(a — \beta) = \boxed{\dfrac{84}{85}}$