ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $$\sin a=\frac{4}{5},\cos \beta =-\frac{15}{17},\frac{\pi }{2}<a<\pi ,\frac{\pi }{2}<\beta <\mathrm{\pi ,}$$ найдите значение выражения:

a) sin (а — b);

б) cos (а — b).

Известно:

$$\sin a = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = -\frac{15}{17}, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi, \quad \frac{\pi}{2} < \beta < \pi;$$

Точки $a$ и $\beta$ принадлежат второй четверти:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$$ $$\sin \beta = +\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \left(-\frac{15}{17}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17};$$

а)

$$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta;$$ $$\sin(a — \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) — \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = \frac{-60 + 24}{85} = -\frac{36}{85};$$

Ответ:

$$-\frac{36}{85};$$

б)

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta;$$ $$\cos(a — \beta) = -\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{45 + 32}{85} = \frac{77}{85};$$

Ответ:

$$\frac{77}{85}$$

Дано:

$$\sin a = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = -\frac{15}{17}, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi, \quad \frac{\pi}{2} < \beta < \pi$$

Это значит, что углы $a$ и $\beta$ лежат во второй четверти.
Во второй четверти:

• синус положительный,
• косинус отрицательный.

Шаг 1: Найдём $\cos a$

Имеем:

$$\sin a = \frac{4}{5}$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Подставим значение:

$$\left( \frac{4}{5} \right)^2 + \cos^2 a = 1$$ $$\frac{16}{25} + \cos^2 a = 1$$ $$\cos^2 a = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ $$\cos a = \pm \sqrt{ \frac{9}{25} } = \pm \frac{3}{5}$$

Но так как $a \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ — вторая четверть, то косинус отрицателен:

$$\cos a = -\frac{3}{5}$$

Шаг 2: Найдём $\sin \beta$

Имеем:

$$\cos \beta = -\frac{15}{17}$$

Снова используем основное тождество:

$$\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$$ $$\left( -\frac{15}{17} \right)^2 + \sin^2 \beta = 1$$ $$\frac{225}{289} + \sin^2 \beta = 1$$ $$\sin^2 \beta = 1 — \frac{225}{289} = \frac{289}{289} — \frac{225}{289} = \frac{64}{289}$$ $$\sin \beta = \pm \sqrt{ \frac{64}{289} } = \pm \frac{8}{17}$$

Но так как $\beta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ — тоже вторая четверть, то синус положителен:

$$\sin \beta = \frac{8}{17}$$

Шаг 3: Вычислим $\sin(a — \beta)$

Формула разности синусов:

$$\sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta$$

Подставим известные значения:

$$\sin(a — \beta) = \frac{4}{5} \cdot \left( -\frac{15}{17} \right) — \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{8}{17}$$

Преобразуем по действиям:

1. $\frac{4}{5} \cdot \left( -\frac{15}{17} \right) = -\frac{60}{85}$
2. $-\left( -\frac{3}{5} \cdot \frac{8}{17} \right) = -\left( -\frac{24}{85} \right) = \frac{24}{85}$

Теперь:

$$\sin(a — \beta) = -\frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{-60 + 24}{85} = \frac{-36}{85}$$

Ответ (а):

$$\boxed{\sin(a — \beta) = -\frac{36}{85}}$$

Шаг 4: Вычислим $\cos(a — \beta)$

Формула разности косинусов:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta$$

Подставим известные значения:

$$\cos(a — \beta) = \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \left( -\frac{15}{17} \right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17}$$

Преобразуем по действиям:

1. $-\frac{3}{5} \cdot -\frac{15}{17} = \frac{45}{85}$
2. $\frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{32}{85}$

Теперь:

$$\cos(a — \beta) = \frac{45}{85} + \frac{32}{85} = \frac{77}{85}$$

Ответ (б):

$$\boxed{\cos(a — \beta) = \frac{77}{85}}$$

Финальные ответы:

а)

$$\boxed{-\frac{36}{85}}$$

б)

$$\boxed{{\displaystyle \frac{77}{85}}}$$