ГДЗ 10-11 Класс Номер 19.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а)

$$\sin x\cdot \cos 3x+\cos x\cdot \sin 3x>\frac{1}{2};$$

б)

$$\cos 2x\cdot \cos 5x-\sin 2x\cdot \sin 5x<-\frac{1}{3};$$

в)

$$\sin \frac{x}{4}\cdot \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{4}\cdot \sin \frac{x}{2}<\frac{1}{3};$$

г)

$$\sin 2x\cdot \sin 5x+\cos 2x\cdot \cos 5x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

а)

$$\sin x \cdot \cos 3x + \cos x \cdot \sin 3x > \frac{1}{2};$$ $$\sin(x + 3x) > \frac{1}{2};$$ $$\sin 4x > \frac{1}{2};$$ $$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2};$$

б)

$$\cos 2x \cdot \cos 5x — \sin 2x \cdot \sin 5x < -\frac{1}{3};$$ $$\cos(2x + 5x) < -\frac{1}{3};$$ $$\cos 7x < -\frac{1}{3};$$ $$7x \ne \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n;$$ $$-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < 7x < 2\pi — \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n;$$ $$\frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7} < x < \frac{2\pi}{7} — \frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7};$$

в)

$$\sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{4} \cdot \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3};$$ $$\sin\left(\frac{x}{4} — \frac{x}{2}\right) < \frac{1}{3};$$ $$\sin\left(-\frac{x}{4}\right) < \frac{1}{3};$$ $$-\sin \frac{x}{4} > -\frac{1}{3};$$ $$\sin \frac{x}{4} > -\frac{1}{3};$$ $$\frac{x}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$ $$-\arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n < \frac{x}{4} < \pi + \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$-4 \arcsin \frac{1}{3} + 8\pi n < x < 4\pi + 4 \arcsin \frac{1}{3} + 8\pi n;$$

г)

$$\sin 2x \cdot \sin 5x + \cos 2x \cdot \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos(5x — 2x) > -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\cos 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$3x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$-\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}$$

а)

$$\sin x \cdot \cos 3x + \cos x \cdot \sin 3x > \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Узнаем, есть ли формула для левой части.

Это формула суммы синусов:

$$\sin x \cdot \cos 3x + \cos x \cdot \sin 3x = \sin(x + 3x) = \sin(4x)$$

Получаем неравенство:

$$\sin(4x) > \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Решаем неравенство:

$$\sin(4x) > \frac{1}{2}$$

Найдем область, где синус больше $\frac{1}{2}$.
Сначала найдём решение уравнения:

$$\sin(4x) = \frac{1}{2}$$

Общее решение:

$$4x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$$

Значение:

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Подставим:

$$4x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Чтобы получить промежутки, где $\sin(4x) > \frac{1}{2}$, определим интервалы между корнями:

Синус положителен и больше $\frac{1}{2}$ в пределах:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3. Делим обе части на 4, чтобы получить выражение для $x$:

$$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ (а):

$$\boxed{\, \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2},\quad n \in \mathbb{Z} \,}$$

б)

$$\cos 2x \cdot \cos 5x — \sin 2x \cdot \sin 5x < -\frac{1}{3}$$

Шаг 1. Узнаем, какая это формула.

Это формула косинуса суммы:

$$\cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B = \cos(A + B)$$

Подставим:

$$\cos(2x + 5x) = \cos(7x)$$

Получаем:

$$\cos(7x) < -\frac{1}{3}$$

Шаг 2. Решаем неравенство:

Ищем промежутки, где косинус меньше $-\frac{1}{3}$.
Сначала найдем уравнение:

$$\cos(7x) = -\frac{1}{3}$$

Общее решение:

$$7x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

Теперь определим область, где:

$$\cos(7x) < -\frac{1}{3}$$

Это значит, что $7x$ лежит в интервале между:

$$-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < 7x < 2\pi — \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

Шаг 3. Делим на 7:

$$\frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7} < x < \frac{2\pi}{7} — \frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7}$$

Ответ (б):

$$\boxed{\, \frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7} < x < \frac{2\pi}{7} — \frac{1}{7} \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{2\pi n}{7},\quad n \in \mathbb{Z} \,}$$

в)

$$\sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{4} \cdot \sin \frac{x}{2} < \frac{1}{3}$$

Шаг 1. Это формула разности синусов:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B)$$

Подставим:

$$\sin\left(\frac{x}{4} — \frac{x}{2}\right) = \sin\left(-\frac{x}{4}\right)$$

Получаем:

$$\sin\left(-\frac{x}{4}\right) < \frac{1}{3}$$

Шаг 2. Учитываем свойство:

$$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$$

Получаем:

$$-\sin \frac{x}{4} < \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad \sin \frac{x}{4} > -\frac{1}{3}$$

Шаг 3. Найдём решение неравенства:

$$\sin \frac{x}{4} > -\frac{1}{3}$$

Решим уравнение:

$$\sin \frac{x}{4} = -\frac{1}{3}$$

Общее решение:

$$\frac{x}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$$

Нас интересует:

$$\frac{x}{4} > -\frac{1}{3}$$

Синус больше $-\frac{1}{3}$ между:

$$-\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < \frac{x}{4} < \pi + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

Шаг 4. Умножим на 4:

$$-4 \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 8\pi n < x < 4\pi + 4 \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 8\pi n$$

Ответ (в):

$$\boxed{\, -4 \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 8\pi n < x < 4\pi + 4 \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 8\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \,}$$

г)

$$\sin 2x \cdot \sin 5x + \cos 2x \cdot \cos 5x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 1. Это формула косинуса разности:

$$\cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

Подставим:

$$\cos(5x — 2x) = \cos 3x$$

Получаем:

$$\cos 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2. Найдём решение неравенства:

Решим уравнение:

$$\cos 3x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значение:

$$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

Общее решение:

$$3x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Теперь определим интервал, где $\cos 3x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть между этими точками:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3. Делим обе части на 3:

$$-\frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ (г):

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}}}$$