ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = 2|x| — 1$, $x \in [-3; 2]$;

б) $y = 3 — |2x|$, $x \in (-5; 4]$;

в) $y = 1,5 — |5x|$, $x \in [-8; 2]$;

г) $y = 6|x| — 2$, $x \in [-10; 4)$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = 2|x| — 1$, $x \in [-3; 2]$;

Абсцисса вершины ломаной:
$x_0 = 0$;

Значения функции:
$y(-3) = 2 \cdot 3 — 1 = 6 — 1 = 5$;
$y(0) = 2 \cdot 0 — 1 = -1$;
$y(2) = 2 \cdot 2 — 1 = 4 — 1 = 3$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 5$.

б) $y = 3 — |2x|$, $x \in (-5; 4]$;

Абсцисса вершины ломаной:
$x_0 = 0$;

Значения функции:
$y(-5) = 3 — 10 = -7$;
$y(0) = 3 — 0 = 3$;
$y(4) = 3 — 8 = -5$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -7$; $y_{\text{наиб}} = 3$.

в) $y = 1,5 — |5x|$, $x \in [-8; 2]$;

Абсцисса вершины ломаной:
$x_0 = 0$;

Значения функции:
$y(-8) = 1,5 — 40 = -38,5$;
$y(0) = 1,5 — 0 = 1,5$;
$y(2) = 1,5 — 10 = -8,5$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -38,5$; $y_{\text{наиб}} = 1,5$.

г) $y = 6|x| — 2$, $x \in [-10; 4)$;

Абсцисса вершины ломаной:
$x_0 = 0$;

Значения функции:
$y(-10) = 6 \cdot 10 — 2 = 60 — 2 = 58$;
$y(0) = 6 \cdot 0 — 2 = -2$;
$y(4) = 6 \cdot 4 — 2 = 24 — 2 = 22$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = 58$.

а) $y = 2|x| — 1$, $x \in [-3; 2]$

Анализ функции:

Функция $y = 2|x| — 1$ имеет форму абсолютной величины, которая представляет собой «V»-образную ломаную линию. Мы должны найти ее наибольшее и наименьшее значения на промежутке от $x = -3$ до $x = 2$.

Абсцисса вершины:

Вершина «V»-образной функции, где $|x|$ достигает минимального значения, находится в точке $x = 0$. Это точка, где $y = -1$, так как $2|0| — 1 = -1$.

Значения функции на концах промежутка:

• Для $x = -3$:
  $y(-3) = 2| — 3 | — 1 = 2 \cdot 3 — 1 = 6 — 1 = 5$
• Для $x = 0$:
  $y(0) = 2| 0 | — 1 = 2 \cdot 0 — 1 = -1$
• Для $x = 2$:
  $y(2) = 2| 2 | — 1 = 2 \cdot 2 — 1 = 4 — 1 = 3$

Ответ:

Мы видим, что минимальное значение функции $y$ на данном промежутке $x \in [-3; 2]$ достигается в точке $x = 0$, где $y = -1$, а максимальное значение $y = 5$ на конце промежутка $x = -3$.

Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -1$
Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 5$

б) $y = 3 — |2x|$, $x \in (-5; 4]$

Анализ функции:

Функция $y = 3 — |2x|$ тоже имеет форму абсолютной величины, но с учетом множителя $2x$. Мы должны найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке от $x = -5$ до $x = 4$.

Абсцисса вершины:

Вершина этой функции находится в точке $x = 0$, так как $|2x|$ минимально при $x = 0$. В этой точке $y = 3 — |2 \cdot 0| = 3$.

Значения функции на концах промежутка:

• Для $x = -5$:
  $y(-5) = 3 — |2 \cdot (-5)| = 3 — | — 10 | = 3 — 10 = -7$
• Для $x = 0$:
  $y(0) = 3 — |2 \cdot 0| = 3 — 0 = 3$
• Для $x = 4$:
  $y(4) = 3 — |2 \cdot 4| = 3 — |8| = 3 — 8 = -5$

Ответ:

Мы видим, что минимальное значение функции $y$ на данном промежутке $x \in (-5; 4]$ достигается в точке $x = -5$, где $y = -7$, а максимальное значение $y = 3$ в точке $x = 0$.

Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -7$
Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 3$

в) $y = 1,5 — |5x|$, $x \in [-8; 2]$

Анализ функции:

Функция $y = 1,5 — |5x|$ также является функцией абсолютной величины, но с множителем $5x$. Мы ищем минимальные и максимальные значения на промежутке $x \in [-8; 2]$.

Абсцисса вершины:

Вершина функции также находится в точке $x = 0$, где $|5x|$ минимально. В этой точке $y = 1,5 — |5 \cdot 0| = 1,5$.

Значения функции на концах промежутка:

• Для $x = -8$:
  $y(-8) = 1,5 — |5 \cdot (-8)| = 1,5 — | — 40 | = 1,5 — 40 = -38,5$
• Для $x = 0$:
  $y(0) = 1,5 — |5 \cdot 0| = 1,5 — 0 = 1,5$
• Для $x = 2$:
  $y(2) = 1,5 — |5 \cdot 2| = 1,5 — |10| = 1,5 — 10 = -8,5$

Ответ:

Мы видим, что минимальное значение функции $y$ на данном промежутке $x \in [-8; 2]$ достигается в точке $x = -8$, где $y = -38,5$, а максимальное значение $y = 1,5$ в точке $x = 0$.

Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -38,5$
Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 1,5$

г) $y = 6|x| — 2$, $x \in [-10; 4)$

Анализ функции:

Функция $y = 6|x| — 2$ имеет форму абсолютной величины с множителем $6x$, что придает функции вид «V», где вершина также находится в точке $x = 0$. Мы должны найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $x \in [-10; 4)$.

Абсцисса вершины:

Вершина функции находится в точке $x = 0$, где $|x|$ минимально. В этой точке $y = 6|0| — 2 = -2$.

Значения функции на концах промежутка:

• Для $x = -10$:
  $y(-10) = 6 \cdot 10 — 2 = 60 — 2 = 58$
• Для $x = 0$:
  $y(0) = 6 \cdot 0 — 2 = -2$
• Для $x = 4$ (так как $x = 4$ не включается в промежуток, мы вычисляем значение функции на значении, близком к 4):
  $y(4) = 6 \cdot 4 — 2 = 24 — 2 = 22$

Ответ:

Мы видим, что минимальное значение функции $y$ на данном промежутке $x \in [-10; 4)$ достигается в точке $x = 0$, где $y = -2$, а максимальное значение $y = 58$ на конце промежутка $x = -10$.

Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -2$
Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = 58$