ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность:

а) $y=2x^3-3$;

б) $y=7-\frac{x^3}{2}$;

в) $y=\frac{2}{3}-x^3$;

г) $y=4+x^3$

Используя свойства числовых неравенств, исследовать функцию на монотонность:

а) $y=2x^3-3$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3;$$$$2(x_2{)}^3>2(x_1{)}^3;$$$$2(x_2{)}^3-3>2(x_1{)}^3-3;$$$$y(x_2)>y(x_1);$$

Ответ: возрастает.

б) $y=7-\frac{x^3}{2}$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3;$$$$-\frac{(x_2{)}^3}{2}<-\frac{(x_1{)}^3}{2};$$$$7-\frac{(x_2{)}^3}{2}<7-\frac{(x_1{)}^3}{2};$$$$y(x_2)<y(x_1);$$

Ответ: убывает.

в) $y=\frac{2}{3}-x^3$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3;$$$$-(x_2{)}^3<-(x_1{)}^3;$$$$\frac{2}{3}-(x_2{)}^3<\frac{2}{3}-(x_1{)}^3;$$$$y(x_2)<y(x_1);$$

Ответ: убывает.

г) $y=4+x^3$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3;$$$$4+(x_2{)}^3>4+(x_1{)}^3;$$$$y(x_2)>y(x_1);$$

Ответ: возрастает.

а) $y=2x^3-3$

Необходимо исследовать монотонность функции $y=2x^3-3$. Для этого исследуем, как изменяется функция при увеличении $x$, то есть как ведет себя $y$, когда $x_2>x_1$.

Шаг 1: Пусть $x_2>x_1$, это значит, что $x_2$ больше, чем $x_1$. Рассмотрим, что будет происходить с функцией на этих двух значениях $x$.

Шаг 2: Для начала, возведем оба значения $x_2$ и $x_1$ в куб. Поскольку функция $x^3$ монотонно возрастает (то есть, если $x_2>x_1$, то $x_2^3>x_1^3$), получаем:

$$x_2^3>x_1^3\mathrm{.}$$

Шаг 3: Теперь умножим обе стороны неравенства на 2:

$$2x_2^3>2x_1^3\mathrm{.}$$

Это сохраняет направление неравенства, так как умножение на положительное число не меняет знака.

Шаг 4: Теперь вычитаем 3 из обеих частей:

$$2x_2^3-3>2x_1^3-3.$$

Таким образом, на $x_2$ функция $y$ принимает большее значение, чем на $x_1$.

Шаг 5: Запишем итоговое неравенство:

$$y(x_2)>y(x_1)\mathrm{.}$$

Это означает, что функция $y=2x^3-3$ возрастает на промежутке $x_1<x_2$.

Ответ: функция возрастает.

б) $y=7-\frac{x^3}{2}$

Теперь исследуем функцию $y=7-\frac{x^3}{2}$. Для этого также будем работать с неравенствами.

Шаг 1: Пусть $x_2>x_1$, то есть рассматриваем два значения $x_1$ и $x_2$, причем $x_2$ больше, чем $x_1$.

Шаг 2: Возведем оба значения в куб:

$$x_2^3>x_1^3\mathrm{.}$$

Так как $x^3$ монотонно возрастает, это неравенство верно.

Шаг 3: Умножим обе части на $-\frac{1}{2}$. Так как умножение на отрицательное число меняет знак неравенства, получаем:

$$-\frac{x_2^3}{2}<-\frac{x_1^3}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Теперь прибавим 7 к обеим частям неравенства:

$$7-\frac{x_2^3}{2}<7-\frac{x_1^3}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, на $x_2$ функция $y$ принимает меньшее значение, чем на $x_1$.

Шаг 5: Запишем итоговое неравенство:

$$y(x_2)<y(x_1)\mathrm{.}$$

Это означает, что функция $y=7-\frac{x^3}{2}$ убывает на промежутке $x_1<x_2$.

Ответ: функция убывает.

в) $y=\frac{2}{3}-x^3$

Теперь рассмотрим функцию $y=\frac{2}{3}-x^3$.

Шаг 1: Пусть $x_2>x_1$, то есть $x_2$ больше $x_1$.

Шаг 2: Возведем оба значения в куб:

$$x_2^3>x_1^3\mathrm{.}$$

Это неравенство верно, так как функция $x^3$ монотонно возрастает.

Шаг 3: Теперь умножим обе части на $-1$. Поскольку умножение на отрицательное число меняет знак неравенства, получаем:

$$-x_2^3<-x_1^3\mathrm{.}$$

Шаг 4: Прибавим $\frac{2}{3}$ к обеим частям:

$$\frac{2}{3}-x_2^3<\frac{2}{3}-x_1^3\mathrm{.}$$

Таким образом, функция на $x_2$ принимает меньшее значение, чем на $x_1$.

Шаг 5: Запишем итоговое неравенство:

$$y(x_2)<y(x_1)\mathrm{.}$$

Это означает, что функция $y=\frac{2}{3}-x^3$ убывает на промежутке $x_1<x_2$.

Ответ: функция убывает.

г) $y=4+x^3$

Наконец, рассмотрим функцию $y=4+x^3$.

Шаг 1: Пусть $x_2>x_1$, то есть $x_2$ больше $x_1$.

Шаг 2: Возведем оба значения в куб:

$$x_2^3>x_1^3\mathrm{.}$$

Это верно, так как функция $x^3$ монотонно возрастает.

Шаг 3: Прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$$4+x_2^3>4+x_1^3\mathrm{.}$$

Таким образом, на $x_2$ функция $y$ принимает большее значение, чем на $x_1$.

Шаг 4: Запишем итоговое неравенство:

$$y(x_2)>y(x_1)\mathrm{.}$$

Это означает, что функция $y=4+x^3$ возрастает на промежутке $x_1<x_2$.

Ответ: функция возрастает.

Итог:

1. Для функции $y=2x^3-3$ — возрастает.
2. Для функции $y=7-\frac{x^3}{2}$ — убывает.
3. Для функции $y=\frac{2}{3}-x^3$ — убывает.
4. Для функции $y=4+x^3$ — возрастает.