ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность:

а) $y=x^2+2x+1$, $x\ge -1$;

б) $y=\frac{1}{x+2}$, $x<-2$;

в) $y=-x^2+6x-12$, $x\ge 3$;

г) $y=-\frac{2}{x+5}$, $x>-5$

Используя свойства числовых неравенств, исследовать функцию на монотонность:

а) $y=x^2+2x+1$, $x\ge -1$;

Преобразуем функцию:
$y=(x+1{)}^2;$

Пусть $x_2>x_1\ge -1$, тогда:
$x_2+1>x_1+1\ge 0;$
$(x_2+1{)}^2>(x_1+1{)}^2;$
$y(x_2)>y(x_1);$

Ответ: возрастает.

б) $y=\frac{1}{x+2}$, $x<-2$;

Пусть $x_1<x_2<-2$, тогда:
$x_1+2\le x_2+2<0;$
$\frac{1}{x_1+2}>\frac{1}{x_2+2};$
$y(x_2)<y(x_1);$

Ответ: убывает.

в) $y=-x^2+6x-12$, $x\ge 3$;

Преобразуем функцию:
$y=-(x^2-6x+9)-3;$
$y=-(x-3{)}^2-3;$

Пусть $x_2>x_1\ge 3$, тогда:
$x_2-3>x_1-3\ge 0;$
$(x_2-3{)}^2>(x_1-3{)}^2;$
$-(x_2-3{)}^2<-(x_1-3{)}^2;$
$-(x_2-3{)}^2-3<-(x_1-3{)}^2-3;$
$y(x_2)<y(x_1);$

Ответ: убывает.

г) $y=-\frac{2}{x+5}$, $x>-5$;

Пусть $x_2>x_1>-5$, тогда:
$x_2+5>x_1+5>0;$
$\frac{1}{x_2+5}<\frac{1}{x_1+5};$
$-\frac{2}{x_2+5}>-\frac{2}{x_1+5};$
$y(x_2)>y(x_1);$

Ответ: возрастает.

а) $y=x^2+2x+1$, $x\ge -1$

Шаг 1: Преобразование функции

Перепишем функцию $y=x^2+2x+1$ в более удобной форме:

$$y=(x+1{)}^2$$

Это выражение явно является квадратом двучлена, и его график — это парабола, открытая вверх. Теперь исследуем монотонность функции на промежутке $x\ge -1$.

Шаг 2: Положительное неравенство

Для анализа монотонности воспользуемся свойствами числовых неравенств. Пусть $x_2>x_1\ge -1$ — это два произвольных числа на данном промежутке. Тогда:

$$x_2+1>x_1+1\ge 0$$

Это неравенство означает, что $x_2+1$ больше, чем $x_1+1$, и оба эти числа больше или равны нулю.

Шаг 3: Применение к функции

Поскольку функция $y=(x+1{)}^2$ является квадратом, и квадрат любого числа (больше или равного нулю) возрастает с увеличением аргумента, мы получаем:

$$(x_2+1{)}^2>(x_1+1{)}^2$$

Отсюда следует:

$$y(x_2)>y(x_1)$$

Шаг 4: Заключение

Так как для любых $x_2>x_1\ge -1$ выполняется неравенство $y(x_2)>y(x_1)$, то функция $y=(x+1{)}^2$ возрастает на промежутке $x\ge -1$.

Ответ: функция возрастает.

б) $y=\frac{1}{x+2}$, $x<-2$

Шаг 1: Анализ функции

Функция $y=\frac{1}{x+2}$ — это дробь с линейным числителем и линейным знаменателем. Давайте исследуем её поведение на промежутке $x<-2$.

Шаг 2: Положительное неравенство

Пусть $x_1<x_2<-2$. Тогда:

$$x_1+2\le x_2+2<0$$

Поскольку $x_1$ и $x_2$ лежат в интервале $x<-2$, то выражения $x_1+2$ и $x_2+2$ оба отрицательны. При этом $x_1+2$ меньше $x_2+2$.

Шаг 3: Применение к функции

Так как числитель постоянный, а знаменатель меняется, применим неравенства к функции:

$$\frac{1}{x_1+2}>\frac{1}{x_2+2}$$

Это неравенство справедливо, потому что дробь с отрицательным знаменателем убывает по мере увеличения его абсолютной величины (поскольку оба знаменателя отрицательны, дробь с меньшим знаменателем будет иметь большее по модулю значение, то есть меньшее значение самой функции).

Шаг 4: Заключение

Так как $y(x_2)<y(x_1)$ для любых $x_1<x_2<-2$, то функция убывает на промежутке $x<-2$.

Ответ: функция убывает.

в) $y=-x^2+6x-12$, $x\ge 3$

Шаг 1: Преобразование функции

Для начала преобразуем функцию $y=-x^2+6x-12$ в более удобную форму, выделив полный квадрат.

$$y=-(x^2-6x+9)-3$$$$y=-(x-3{)}^2-3$$

Теперь функция принимает вид $y=-(x-3{)}^2-3$. Это квадратичная функция, у которой вершина — точка максимума (поскольку перед квадратом стоит минус). Функция $y$ убывает для $x>3$ и возрастает для $x<3$.

Шаг 2: Положительное неравенство

Пусть $x_2>x_1\ge 3$. Тогда:

$$x_2-3>x_1-3\ge 0$$

Это неравенство говорит о том, что разница между $x_2$ и $x_1$ всегда больше или равна нулю.

Шаг 3: Применение к функции

Поскольку $y=-(x-3{)}^2-3$, квадратное выражение внутри функции возрастает с увеличением $x$, но из-за минуса перед квадратом результат убывает. Следовательно:

$$-(x_2-3{)}^2<-(x_1-3{)}^2$$

И, следовательно:

$$y(x_2)<y(x_1)$$

Шаг 4: Заключение

Таким образом, для $x_2>x_1\ge 3$ выполняется неравенство $y(x_2)<y(x_1)$, то есть функция убывает.

Ответ: функция убывает.

г) $y=-\frac{2}{x+5}$, $x>-5$

Шаг 1: Анализ функции

Функция $y=-\frac{2}{x+5}$ представляет собой дробь с линейным числителем и линейным знаменателем. Исследуем её монотонность на промежутке $x>-5$.

Шаг 2: Положительное неравенство

Пусть $x_2>x_1>-5$. Тогда:

$$x_2+5>x_1+5>0$$

Оба выражения $x_2+5$ и $x_1+5$ положительны, поскольку $x_2>x_1>-5$.

Шаг 3: Применение к функции

Для функции $y=-\frac{2}{x+5}$, так как $x_2+5>x_1+5$, то дробь с большим знаменателем будет меньше, а знак минуса делает величину самой функции больше для $x_2$. Таким образом:

$$-\frac{2}{x_2+5}>-\frac{2}{x_1+5}$$

Шаг 4: Заключение

Так как для любых $x_2>x_1>-5$ выполняется неравенство $y(x_2)>y(x_1)$, то функция возрастает на промежутке $x>-5$.

Ответ: функция возрастает.

Итог:

а) Функция возрастает.

б) Функция убывает.

в) Функция убывает.

г) Функция возрастает.