ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Используя свойства числовых неравенств, исследуйте функцию на монотонность:

а) $y=x^3+2x$;

б) $y=5-x^3-6x^9$;

в) $y=4-x^5$;

г) $y=x^7+x^5-3$

Используя свойства числовых неравенств, исследовать функцию на монотонность:

а) $y=x^3+2x$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3,2x_2>2x_1;$$$$(x_2{)}^3+2x_2>(x_1{)}^3+2x_1;$$$$y(x_2)>y(x_1);$$

Ответ: возрастает.

б) $y=5-x^3-6x^9$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3,(x_2{)}^9>(x_1{)}^9;$$$$-(x_2{)}^3<-(x_1{)}^3,-6(x_2{)}^9<-6(x_1{)}^9;$$$$5-(x_2{)}^3-6(x_2{)}^9<5-(x_1{)}^3-6(x_1{)}^9;$$$$y(x_2)<y(x_1);$$

Ответ: убывает.

в) $y=4-x^5$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^5>(x_1{)}^5;$$$$-(x_2{)}^5<-(x_1{)}^5;$$$$4-(x_2{)}^5<4-(x_1{)}^5;$$$$y(x_2)<y(x_1);$$

Ответ: убывает.

г) $y=x^7+x^5-3$;

Пусть $x_2>x_1$, тогда:

$$(x_2{)}^7>(x_1{)}^7,(x_2{)}^5>(x_1{)}^5;$$$$(x_2{)}^7+(x_2{)}^5-3>(x_1{)}^7+(x_1{)}^5-3;$$$$y(x_2)>y(x_1);$$

Ответ: возрастает.

а) $y=x^3+2x$

Шаг 1: Исходное уравнение

У нас есть функция $y=x^3+2x$, и нужно исследовать её на монотонность. Для этого мы будем использовать свойства числовых неравенств.

Шаг 2: Положительное неравенство

Пусть $x_2>x_1$ — два произвольных числа на интервале. Тогда применим к этим числам неравенства для каждого члена функции.

Для первого члена функции $x^3$:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3$$

Это верно, так как функция $f(x)=x^3$ является возрастающей для всех $x$. То есть, если $x_2>x_1$, то $x_2^3>x_1^3$.

Для второго члена функции $2x$:

$$2x_2>2x_1$$

Это тоже верно, поскольку функция $f(x)=2x$ является линейной и возрастающей.

Шаг 3: Сложение неравенств

Теперь сложим два неравенства:

$$(x_2{)}^3+2x_2>(x_1{)}^3+2x_1$$

Получаем:

$$y(x_2)>y(x_1)$$

Шаг 4: Заключение

Поскольку для всех $x_2>x_1$ выполняется неравенство $y(x_2)>y(x_1)$, это значит, что функция $y=x^3+2x$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает.

б) $y=5-x^3-6x^9$

Шаг 1: Исходное уравнение

Исследуем функцию $y=5-x^3-6x^9$ на монотонность, используя неравенства.

Шаг 2: Положительное неравенство

Пусть $x_2>x_1$. Мы исследуем два члена функции $x^3$ и $x^9$.

Для первого члена $-x^3$:

$$(x_2{)}^3>(x_1{)}^3$$

$$\text{(так как }{x}_2>x_1\text{, то кубы этих чисел тоже возрастают)}$$

Таким образом:

$$-(x_2{)}^3<-(x_1{)}^3$$

Для второго члена $-6x^9$:

$$(x_2{)}^9>(x_1{)}^9$$$$$$

И следовательно:

$$-6(x_2{)}^9<-6(x_1{)}^9$$

Шаг 3: Сложение неравенств

Теперь сложим все три части:

$$5-(x_2{)}^3-6(x_2{)}^9<5-(x_1{)}^3-6(x_1{)}^9$$

Получаем:

$$y(x_2)<y(x_1)$$

Шаг 4: Заключение

Таким образом, для всех $x_2>x_1$ выполняется неравенство $y(x_2)<y(x_1)$, что означает, что функция $y=5-x^3-6x^9$ убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает.

в) $y=4-x^5$

Шаг 1: Исходное уравнение

Теперь исследуем функцию $y=4-x^5$ на монотонность.

Шаг 2: Положительное неравенство

Пусть $x_2>x_1$. Исследуем член $x^5$.

Для $-x^5$ функция $f(x)=x^5$ возрастает при $x>0$, и убывает при $x<0$. Если $x_2>x_1$, то выполняется:

$$(x_2{)}^5>(x_1{)}^5$$

Следовательно, применяя знак минуса:

$$-(x_2{)}^5<-(x_1{)}^5$$

Шаг 3: Сложение неравенств

Теперь сложим части:

$$4-(x_2{)}^5<4-(x_1{)}^5$$

И получаем:

$$y(x_2)<y(x_1)$$

Шаг 4: Заключение

Поскольку для всех $x_2>x_1$ выполняется неравенство $y(x_2)<y(x_1)$, то функция $y=4-x^5$ убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает.

г) $y=x^7+x^5-3$

Шаг 1: Исходное уравнение

Теперь исследуем функцию $y=x^7+x^5-3$ на монотонность.

Шаг 2: Положительное неравенство

Пусть $x_2>x_1$. Для каждого члена функции проверим его поведение.

Для первого члена $x^7$:

$$(x_2{)}^7>(x_1{)}^7$$

Так как функция $f(x)=x^7$ возрастает для всех $x$, то это неравенство верно.

Для второго члена $x^5$:

$$(x_2{)}^5>(x_1{)}^5$$

Так как функция $f(x)=x^5$ тоже возрастает для всех $x$, это также верно.

Шаг 3: Сложение неравенств

Теперь сложим все части:

$$(x_2{)}^7+(x_2{)}^5-3>(x_1{)}^7+(x_1{)}^5-3$$

И получаем:

$$y(x_2)>y(x_1)$$

Шаг 4: Заключение

Поскольку для всех $x_2>x_1$ выполняется неравенство $y(x_2)>y(x_1)$, это означает, что функция $y=x^7+x^5-3$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает.

Итоговые ответы:

а) функция возрастает.

б) функция убывает.

в) функция убывает.

г) функция возрастает.