ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на ограниченность:

а) $y=x^2-8x+1$;

б) $y=\frac{2x-4}{x}=2-\frac{4}{x},x>0$;

в) $y=-2x^2-6x+15$;

г) $y=\frac{5-2x}{1-x}=\frac{3}{1-x}+2,x<1$

Исследовать функцию на монотонность:

а) $y=x^2-8x+1$;
Ветви параболы направлены вверх:
$a=1>0$;
Ответ: ограничена снизу.

б) $y=\frac{2x-4}{x}=2-\frac{4}{x},x>0$;
Дано уравнение гиперболы:
$x_0=0$;
Если $x_2>x_1>0$, тогда:

$$\frac{4}{x_2}<\frac{4}{x_1};$$$$-\frac{4}{x_2}>-\frac{4}{x_1};$$$$2-\frac{4}{x_2}>2-\frac{4}{x_1};$$$$y(x_2)>y(x_1);$$

Ответ: ограничена сверху.

в) $y=-2x^2-6x+15$;
Ветви параболы направлены вниз:
$a=-2<0$;
Ответ: ограничена сверху.

г) $y=\frac{5-2x}{1-x}=\frac{3}{1-x}+2,x<1$;
Дано уравнение гиперболы:
$x_0=1$;
Если $x_1<x_2<1$, тогда:

$$0<1-x_2<1-x_1;$$$$\frac{3}{1-x_2}>\frac{3}{1-x_1};$$$$\frac{3}{1-x_2}+2>\frac{3}{1-x_1}+2;$$$$y(x_2)>y(x_1);$$

Ответ: ограничена снизу.

а) $y=x^2-8x+1$

Шаг 1: Исходная форма функции

Функция:

$$y=x^2-8x+1$$

Это квадратная функция, которая представляет собой параболу. Для анализа монотонности рассмотрим её форму и коэффициенты.

Шаг 2: Ветви параболы

Мы видим, что это квадратичная функция. Чтобы понять, в какую сторону направлены ветви параболы, нужно обратить внимание на коэффициент при $x^2$. Здесь:

$$a=1$$

Так как $a=1>0$, это означает, что парабола открыта вверх, и функция будет ограничена снизу.

Шаг 3: Определение минимума

Парабола открыта вверх, что означает наличие минимальной точки (вершины). Вершина параболы для функции $y=a{x}^2+bx+c$ находится в точке:

$$x_{\text{min}}=\frac{-b}{2a}$$

Для нашей функции $a=1$, $b=-8$, поэтому:

$$x_{\text{min}}=\frac{-(-8)}{2(1)}=\frac{8}{2}=4$$

Таким образом, вершина функции находится в точке $x=4$.

Шаг 4: Значение функции в вершине

Теперь, подставим $x=4$ в исходную функцию, чтобы найти минимальное значение:

$$y(4)=4^2-8(4)+1=16-32+1=-15$$

Минимальное значение функции равно $-15$, и функция ограничена снизу этим значением.

Шаг 5: Заключение

Функция возрастает при $x>4$ и убывает при $x<4$, так как парабола открыта вверх и имеет точку минимума в $x=4$.

Ответ: Функция ограничена снизу.

б) $y=\frac{2x-4}{x}=2-\frac{4}{x},x>0$

Шаг 1: Исходная форма функции

Дано:

$$y=\frac{2x-4}{x}=2-\frac{4}{x},x>0$$

Эта функция является гиперболой. Необходимо исследовать монотонность для $x>0$.

Шаг 2: Поведение функции на интервале

Чтобы исследовать монотонность, предположим, что $x_2>x_1>0$ (то есть $x_2$ и $x_1$ — два произвольных числа из области определения функции). Для этих значений $x_1$ и $x_2$ рассмотрим поведение функции.

Шаг 3: Положительное неравенство

Рассмотрим выражение $\frac{4}{x}$, которое встречается в нашей функции:

$$\frac{4}{x_2}<\frac{4}{x_1}$$

Поскольку $x_2>x_1>0$, то $\frac{4}{x}$ убывает с увеличением $x$. Следовательно, $\frac{4}{x_2}<\frac{4}{x_1}$.

Умножив на $-1$, получаем:

$$-\frac{4}{x_2}>-\frac{4}{x_1}$$

Шаг 4: Сложение с константой

Теперь сложим оба неравенства:

$$2-\frac{4}{x_2}>2-\frac{4}{x_1}$$

Это значит, что:

$$y(x_2)>y(x_1)$$

Шаг 5: Заключение

Так как для всех $x_2>x_1>0$ выполняется неравенство $y(x_2)>y(x_1)$, функция $y=2-\frac{4}{x}$ возрастает на интервале $x>0$. Таким образом, функция ограничена сверху, так как она стремится к 2, но не может превысить это значение.

Ответ: Функция ограничена сверху.

в) $y=-2x^2-6x+15$

Шаг 1: Исходная форма функции

Дано:

$$y=-2x^2-6x+15$$

Это также квадратичная функция, но с отрицательным коэффициентом при $x^2$.

Шаг 2: Ветви параболы

Для квадратичной функции $y=a{x}^2+bx+c$ направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$. Здесь:

$$a=-2$$

Так как $a<0$, парабола открыта вниз, что означает наличие максимума и верхней границы.

Шаг 3: Определение максимума

Парабола открыта вниз, поэтому функция будет иметь точку максимума. Вершина параболы для функции $y=a{x}^2+bx+c$ находится в точке:

$$x_{\text{max}}=\frac{-b}{2a}$$

Для нашей функции $a=-2$, $b=-6$, получаем:

$$x_{\text{max}}=\frac{-(-6)}{2(-2)}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$$

Таким образом, точка максимума находится в $x=-\frac{3}{2}$.

Шаг 4: Значение функции в вершине

Теперь подставим $x=-\frac{3}{2}$ в исходную функцию, чтобы найти максимальное значение:

$$y(-\frac{3}{2})=-2{(-\frac{3}{2})}^2-6(-\frac{3}{2})+15$$$$=-2\left(\frac{9}{4}\right)+9+15=-\frac{18}{4}+9+15=-\frac{9}{2}+24=\frac{39}{2}$$

Шаг 5: Заключение

Функция ограничена сверху, так как максимальное значение функции $\frac{39}{2}$ будет достигаться в вершине параболы, а функция убывает для $x<-\frac{3}{2}$ и возрастает для $x>-\frac{3}{2}$.

Ответ: Функция ограничена сверху.

г) $y=\frac{5-2x}{1-x}=\frac{3}{1-x}+2,x<1$

Шаг 1: Исходная форма функции

Дано:

$$y=\frac{5-2x}{1-x}=\frac{3}{1-x}+2,x<1$$

Это также уравнение гиперболы. Необходимо исследовать монотонность на интервале $x<1$.

Шаг 2: Положительное неравенство

Предположим, что $x_1<x_2<1$. Тогда для $1-x$ мы получаем:

$$0<1-x_2<1-x_1$$

Так как $x_2>x_1$, выражение $1-x$ будет уменьшаться, и оно будет положительным, но меньше для $x_2$, чем для $x_1$.

Шаг 3: Применение функции $\frac{3}{1-x}$

Поскольку функция $f(x)=\frac{3}{1-x}$ возрастает для $x<1$, имеем:

$$\frac{3}{1-x_2}>\frac{3}{1-x_1}$$

Шаг 4: Сложение с константой

Теперь добавляем 2 к обеим частям:

$$\frac{3}{1-x_2}+2>\frac{3}{1-x_1}+2$$

Это означает, что:

$$y(x_2)>y(x_1)$$

Шаг 5: Заключение

Таким образом, функция возрастает на интервале $x<1$, и она ограничена снизу, так как значение стремится к $+\mathrm{\infty }$ при приближении $x$ к 1.

Ответ: Функция ограничена снизу.

Итоговые ответы:

а) Функция ограничена снизу.

б) Функция ограничена сверху.

в) Функция ограничена сверху.

г) Функция ограничена снизу.