ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на ограниченность:

а) $y=\sqrt{-x^2+4x-5}\ge 0$;

б) $y=\sqrt{\frac{x^2-4x+1}{5}}\ge 0$;

в) $y=\sqrt{-2x^2+8x+9}\ge 0$;

г) $y=\sqrt{\frac{5}{2x^2-4x+2}}=\sqrt{\frac{5}{2(x-1{)}^2}}\ge 0$

Исследовать функцию на монотонность:

а) $y=\sqrt{-x^2+4x-5}\ge 0$;

Ветви параболы направлены вниз:
$a=-1<0$;

Ответ: ограничена снизу и сверху.

б) $y=\sqrt{\frac{x^2-4x+1}{5}}\ge 0$;

Ветви параболы направлены вверх:
$a=1>0$;

Ответ: ограничена снизу.

в) $y=\sqrt{-2x^2+8x+9}\ge 0$;

Ветви параболы направлены вниз:
$a=-2<0$;

Ответ: ограничена снизу и сверху.

г) $y=\sqrt{\frac{5}{2x^2-4x+2}}=\sqrt{\frac{5}{2(x-1{)}^2}}\ge 0$;

Дано уравнение гиперболы:
$x_0=1$;
$\frac{5}{2(x-1{)}^2}\ge 0$;

Ответ: ограничена снизу.

а) $y=\sqrt{-x^2+4x-5}\ge 0$

Шаг 1: Исходная функция

Дано:

$$y=\sqrt{-x^2+4x-5}$$

Нам нужно исследовать монотонность этой функции. Прежде чем это делать, убедимся, что выражение под корнем всегда неотрицательно, так как корень квадратный из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Шаг 2: Условия существования функции

Для того чтобы функция $y=\sqrt{-x^2+4x-5}$ существовала, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$-x^2+4x-5\ge 0$$

Решим неравенство:

$$-x^2+4x-5=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2-4x+5=0$$

Дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4$$

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Следовательно, не существует значений $x$, при которых выражение под корнем становится отрицательным. Таким образом, функция не существует для всех $x$.

Шаг 3: Заключение

Функция ограничена как сверху, так и снизу, так как имеет неограниченное значение.

Ответ: Функция ограничена снизу и сверху.

б) $y=\sqrt{\frac{x^2-4x+1}{5}}\ge 0$

Шаг 1: Исходная функция

Дано:

$$y=\sqrt{\frac{x^2-4x+1}{5}}$$

Также убедимся, что выражение под корнем всегда неотрицательно.

Шаг 2: Условия существования функции

Для существования функции выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$\frac{x^2-4x+1}{5}\ge 0$$

Так как знаменатель $5$ положителен, неравенство сводится к:

$$x^2-4x+1\ge 0$$

Решим это неравенство. Рассмотрим квадратное уравнение:

$$x^2-4x+1=0$$

Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$$

Корни:

$$x_1=\frac{-(-4)+\sqrt{12}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3},$$

$$x_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$$

Таким образом, неравенство $x^2-4x+1\ge 0$ выполняется для $x\le 2-\sqrt{3}$ или $x\ge 2+\sqrt{3}$.

Шаг 3: Монотонность функции

Функция $y=\sqrt{\frac{x^2-4x+1}{5}}$ является функцией, которая имеет минимум на определённом интервале. Так как при увеличении $x$ аргумент функции растёт, её значение также будет возрастать на одном интервале. Также следует заметить, что $y(x)$ ограничена снизу так как она всегда положительна.

Ответ: Функция ограничена снизу.

в) $y=\sqrt{-2x^2+8x+9}\ge 0$

Шаг 1: Исходная функция

Дано:

$$y=\sqrt{-2x^2+8x+9}$$

Как и в предыдущих случаях, сначала проверим, что выражение под корнем неотрицательно.

Шаг 2: Условия существования функции

Для существования функции выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$-2x^2+8x+9\ge 0$$

Решим неравенство:

$$2x^2-8x-9\le 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$2x^2-8x-9=0$$

Дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 2\cdot (-9)=64+72=136$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-8)+\sqrt{136}}{2\cdot 2}=\frac{8+\sqrt{136}}{4},x_2=\frac{8-\sqrt{136}}{4}$$

Таким образом, мы находим, что функция имеет два значения на $x$, и в этих пределах она будет ограничена сверху и снизу.

Ответ: Функция ограничена снизу и сверху.

г) $y=\sqrt{\frac{5}{2x^2-4x+2}}=\sqrt{\frac{5}{2(x-1{)}^2}}\ge 0$

Шаг 1: Исходная функция

Дано:

$$y=\sqrt{\frac{5}{2x^2-4x+2}}=\sqrt{\frac{5}{2(x-1{)}^2}}$$

Это гипербола, и мы должны проверить её монотонность.

Шаг 2: Условия существования функции

Для существования функции выражение под корнем должно быть положительным:

$$\frac{5}{2(x-1{)}^2}\ge 0$$

Так как числитель положителен, то выражение под корнем будет всегда положительным для всех $x\mathrm{\ne }1$, где $(x-1{)}^2>0$.

Шаг 3: Монотонность функции

Так как выражение под корнем всегда положительно, функция будет возрастать при $x>1$ и убывать при $x<1$, так как дробь уменьшается при увеличении значения $x$.

Ответ: Функция ограничена снизу.

Итоговые ответы:

а) Функция ограничена снизу и сверху.

б) Функция ограничена снизу.

в) Функция ограничена снизу и сверху.

г) Функция ограничена снизу.