ГДЗ 10-11 Класс Номер 2.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y=3-2x$, $x\in [-1;3]$;

б) $y=-2x^2+2x$, $x\in [-3;2]$;

в) $y=3-4x$, $x\in (-\mathrm{\infty };3]$;

г) $y=x^2+4x+5$, $x\in (0;1]$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y=3-2x$, $x\in [-1;3]$;

Функция монотонно убывает на $R$:

$$y_{\text{наим}}=y(3)=3-6=-3;$$$$y_{\text{наиб}}=y(-1)=3+2=5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=-3$; $y_{\text{наиб}}=5$.

б) $y=-2x^2+2x$, $x\in [-3;2]$;

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot (-2)}=\frac{2}{4}=0,5;$$

Значения функции:

$$y(-3)=-2\cdot 9-6=-18-6=-24;$$$$y(0,5)=-2\cdot 0,25+1=-0,5+1=0,5;$$$$y(2)=-2\cdot 4+4=-8+4=-4;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=-24$; $y_{\text{наиб}}=0,5$.

в) $y=3-4x$, $x\in (-\mathrm{\infty };3]$;

Функция монотонно убывает на $R$:

$$y_{\text{наим}}=y(3)=3-12=-9;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=-9$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

г) $y=x^2+4x+5$, $x\in (0;1]$;

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2;$$

Функция возрастает на $[-2;+\mathrm{\infty })$:

$$y_{\text{наиб}}=y(1)=1+4+5=10;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}=10$.

а) $y=3-2x$, $x\in [-1;3]$

Шаг 1: Исходная функция

Дано:

$$y=3-2x$$

Это линейная функция с отрицательным коэффициентом при $x$, что говорит о том, что функция монотонно убывает на всём промежутке определения.

Шаг 2: Монотонность функции

Функция $y=3-2x$ является линейной и монотонно убывает на всей своей области определения, так как коэффициент при $x$ равен $-2$, а для линейных функций с отрицательным коэффициентом она всегда убывает.

Шаг 3: Найдём наименьшее значение функции

Наименьшее значение функции на интервале будет на правом конце отрезка, так как функция убывает. Подставляем $x=3$ в исходное уравнение:

$$y(3)=3-2(3)=3-6=-3$$

Таким образом, наименьшее значение функции:

$$y_{\text{наим}}=-3$$

Шаг 4: Найдём наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции будет на левом конце интервала, так как функция убывает. Подставляем $x=-1$ в исходное уравнение:

$$y(-1)=3-2(-1)=3+2=5$$

Таким образом, наибольшее значение функции:

$$y_{\text{наиб}}=5$$

Ответ: $y_{\text{наим}}=-3$; $y_{\text{наиб}}=5$

б) $y=-2x^2+2x$, $x\in [-3;2]$

Шаг 1: Исходная функция

Дано:

$$y=-2x^2+2x$$

Это квадратичная функция с коэффициентом при $x^2$, равным $-2$, что означает, что парабола будет открыта вниз (то есть она имеет точку максимума).

Шаг 2: Абсцисса вершины параболы

Для квадратичной функции $y=a{x}^2+bx+c$ абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле:

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Здесь $a=-2$ и $b=2$, поэтому:

$$x_0=-\frac{2}{2\cdot (-2)}=\frac{2}{4}=0,5$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $x_0=0,5$.

Шаг 3: Найдём значения функции на концах интервала

Теперь подставим значения $x=-3$, $x=0,5$ и $x=2$ в исходное уравнение, чтобы найти значения функции на концах интервала и в вершине.

Для $x=-3$:

$$y(-3)=-2(-3{)}^2+2(-3)=-2(9)-6=-18-6=-24$$

Для $x=0,5$:

$$y(0,5)=-2(0,5{)}^2+2(0,5)=-2(0,25)+1=-0,5+1=0,5$$

Для $x=2$:

$$y(2)=-2(2{)}^2+2(2)=-2(4)+4=-8+4=-4$$

Шаг 4: Наименьшее и наибольшее значение

Наименьшее значение функции $y_{\text{наим}}=-24$, так как это наименьшее значение на интервале $x\in [-3;2]$.

Наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}}=0,5$, так как это максимальное значение, которое мы нашли на интервале.

Ответ: $y_{\text{наим}}=-24$; $y_{\text{наиб}}=0,5$

в) $y=3-4x$, $x\in (-\mathrm{\infty };3]$

Шаг 1: Исходная функция

Дано:

$$y=3-4x$$

Это линейная функция с отрицательным коэффициентом при $x$, что говорит о том, что функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Шаг 2: Монотонность функции

Функция $y=3-4x$ является линейной, и так как коэффициент при $x$ отрицателен, она убывает на всей своей области определения.

Шаг 3: Найдём наименьшее значение функции

Наименьшее значение функции будет на правом конце интервала, так как функция убывает. Подставляем $x=3$ в исходное уравнение:

$$y(3)=3-4(3)=3-12=-9$$

Таким образом, наименьшее значение функции:

$$y_{\text{наим}}=-9$$

Шаг 4: Наибольшее значение функции

Поскольку функция монотонно убывает, наибольшее значение функции будет стремиться к бесконечности, когда $x$ стремится к $-\mathrm{\infty }$. Таким образом, наибольшее значение функции не существует на данном интервале.

Ответ: $y_{\text{наим}}=-9$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

г) $y=x^2+4x+5$, $x\in (0;1]$

Шаг 1: Исходная функция

Дано:

$$y=x^2+4x+5$$

Это квадратичная функция, и мы знаем, что парабола будет открыта вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1>0$. Функция будет возрастать после вершины параболы.

Шаг 2: Абсцисса вершины параболы

Для квадратичной функции $y=a{x}^2+bx+c$ абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле:

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Здесь $a=1$ и $b=4$, поэтому:

$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $x_0=-2$.

Шаг 3: Наибольшее значение на интервале

Поскольку $x_0=-2$ не принадлежит интервалу $(0;1]$, мы не можем использовать его для поиска наименьшего значения. Однако мы можем найти наибольшее значение функции на этом интервале.

Подставляем $x=1$ (права граница интервала):

$$y(1)=1^2+4(1)+5=1+4+5=10$$

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале $(0;1]$ равно 10.

Шаг 4: Наименьшее значение

Так как функция возрастает на интервале $(0;1]$, наименьшее значение функции будет стремиться к бесконечности, когда $x$ стремится к 0.

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}=10$

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}}=-3$; $y_{\text{наиб}}=5$

б) $y_{\text{наим}}=-24$; $y_{\text{наиб}}=0,5$

в) $y_{\text{наим}}=-9$; $y_{\text{наиб}}$ — нет

г) $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}}=10$