ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-$\pi$; 2$\pi$]:

а)

$$\frac{\sqrt{3}-tgx}{1+\sqrt{3}\cdot tgx}=1;$$

б)

$$\frac{tg\frac{\pi }{5}-tg2x}{tg\frac{\pi }{5}\cdot tg2x+1}=\sqrt{3}$$

а)

$$\frac{\sqrt{3} — tg\,x}{1 + \sqrt{3} \cdot tg\,x} = 1;$$ $$\frac{tg\,\frac{\pi}{3} — tg\,x}{1 + tg\,\frac{\pi}{3} \cdot tg\,x} = 1;$$ $$tg\left( \frac{\pi}{3} — x \right) = 1;$$ $$tg\left( x — \frac{\pi}{3} \right) = -1;$$ $$x — \frac{\pi}{3} = -arctg\,1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \pi n;$$

Значения на заданном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{12} — \pi = -\frac{11\pi}{12};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{12} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{12};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12};$$

Ответ:

$$-\frac{11\pi}{12};\quad \frac{\pi}{12};\quad \frac{13\pi}{12}$$

б)

$$\frac{tg\,\frac{\pi}{5} — tg\,2x}{tg\,\frac{\pi}{5} \cdot tg\,2x + 1} = \sqrt{3};$$ $$tg\left( \frac{\pi}{5} — 2x \right) = \sqrt{3};$$ $$tg\left( 2x — \frac{\pi}{5} \right) = -\sqrt{3};$$ $$2x — \frac{\pi}{5} = -arctg\,\sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{3} + \pi n = -\frac{2\pi}{15} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{2\pi}{15} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2};$$

Значения на заданном отрезке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{15} — \frac{\pi}{2} = -\frac{17\pi}{30};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{2} \cdot 0 = -\frac{\pi}{15};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{30};$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{14\pi}{15};$$ $$x_5 = -\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{2} = \frac{43\pi}{30};$$ $$x_6 = -\frac{\pi}{15} + 2\pi = \frac{29\pi}{15};$$

Ответ:

$$-\frac{17\pi}{30};\quad -\frac{\pi}{15};\quad \frac{13\pi}{30};\quad \frac{14\pi}{15};\quad \frac{43\pi}{30};\quad \frac{29\pi}{15}$$

а)

$$\frac{\sqrt{3} — tg\,x}{1 + \sqrt{3} \cdot tg\,x} = 1$$

Шаг 1: Узнаём формулу приведения

Левая часть уравнения имеет вид:

$$\frac{tg\,A — tg\,B}{1 + tg\,A \cdot tg\,B} = tg(A — B)$$

Это — формула тангенса разности:

$$tg(A — B) = \frac{tg\,A — tg\,B}{1 + tg\,A \cdot tg\,B}$$

Применим её, выбрав:

• $tg\,A = \sqrt{3} \Rightarrow A = \frac{\pi}{3}$, так как $tg\,\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
• $tg\,B = tg\,x \Rightarrow B = x$

Тогда:

$$\frac{\sqrt{3} — tg\,x}{1 + \sqrt{3} \cdot tg\,x} = \frac{tg\,\frac{\pi}{3} — tg\,x}{1 + tg\,\frac{\pi}{3} \cdot tg\,x} = tg\left( \frac{\pi}{3} — x \right)$$

Шаг 2: Подставим обратно в уравнение

$$tg\left( \frac{\pi}{3} — x \right) = 1$$

Шаг 3: Перепишем в виде $tg(a) = 1$

Уравнение:

$$tg\left( \frac{\pi}{3} — x \right) = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{3} — x = \arctg(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 4: Выразим x

$$x = \frac{\pi}{3} — \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} — \pi n$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi — 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$$ $$x = \frac{\pi}{12} — \pi n = \frac{\pi}{12} + \pi(-n) = \frac{\pi}{12} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

(можно просто оставить $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$)

Шаг 5: Подбор решений на отрезке $[-\pi; 2\pi]$

Общий вид решения:

$$x = \frac{\pi}{12} + \pi n$$

Подставим различные $n \in \mathbb{Z}$, чтобы найти значения в пределах отрезка $[-\pi; 2\pi]$:

• При $n = -1$:
  $x = \frac{\pi}{12} — \pi = \frac{\pi — 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} \in [-\pi; 2\pi]$
• При $n = 0$:
  $x = \frac{\pi}{12} \in [-\pi; 2\pi]$
• При $n = 1$:
  $x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \in [-\pi; 2\pi]$
• При $n = 2$:
  $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12} > 2\pi \Rightarrow \text{не подходит}$

Ответ а)

$$\boxed{-\frac{11\pi}{12};\quad \frac{\pi}{12};\quad \frac{13\pi}{12}}$$

б)

$$\frac{tg\,\frac{\pi}{5} — tg\,2x}{tg\,\frac{\pi}{5} \cdot tg\,2x + 1} = \sqrt{3}$$

Шаг 1: Формула разности тангенсов

$$\frac{tg\,A — tg\,B}{1 + tg\,A \cdot tg\,B} = tg(A — B)$$

Здесь:

• $A = \frac{\pi}{5}$
• $B = 2x$

$$\frac{tg\,\frac{\pi}{5} — tg\,2x}{1 + tg\,\frac{\pi}{5} \cdot tg\,2x} = tg\left( \frac{\pi}{5} — 2x \right)$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$tg\left( \frac{\pi}{5} — 2x \right) = \sqrt{3}$$

Шаг 3: Решаем уравнение

$$\frac{\pi}{5} — 2x = \arctg\,\sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4: Выразим x

$$-2x = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{5} + \pi n = \frac{5\pi — 3\pi}{15} + \pi n = \frac{2\pi}{15} + \pi n \Rightarrow 2x = -\frac{2\pi}{15} — \pi n$$ $$x = -\frac{1}{2} \left( \frac{2\pi}{15} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{15} — \frac{\pi n}{2}$$

или:

$$x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5: Подбор решений на отрезке $[-\pi; 2\pi]$

Общий вид:

$$x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2}$$

Подставим разные $n$ и проверим попадание в отрезок $[-\pi; 2\pi]$:

• $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{15} — \frac{\pi}{2} = -\frac{17\pi}{30}$
• $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{15}$
• $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{30}$
• $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{14\pi}{15}$
• $n = 3$: $x = -\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{2} = \frac{43\pi}{30}$
• $n = 4$: $x = -\frac{\pi}{15} + 2\pi = \frac{29\pi}{15}$

Проверим принадлежность всех найденных значений отрезку $[-\pi; 2\pi] \approx [-3.14; 6.28]$ — все подходят.

Ответ б)

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{17\pi }{30};-\frac{\pi }{15};\frac{13\pi }{30};\frac{14\pi }{15};\frac{43\pi }{30};\frac{29\pi }{15}}}$$