ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите $tg\,a$, если $tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = 3$

б) Найдите $ctg\,a$, если $tg\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = 0,2$

Вычислить значение:

а) $tg\,a$, если $tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = 3$;

$$\frac{tg\,a — tg\,\frac{\pi}{4}}{1 + tg\,a \cdot tg\,\frac{\pi}{4}} = 3;$$ $$\frac{tg\,a — 1}{1 + tg\,a \cdot 1} = 3;$$ $$tg\,a — 1 = 3 \cdot (tg\,a + 1);$$ $$tg\,a — 1 = 3\,tg\,a + 3;$$ $$2\,tg\,a = -4;$$ $$tg\,a = -2;$$

Ответ: $-2$.

б) $ctg\,a$, если $tg\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = 0,2$;

$$\frac{tg\,a + tg\,\frac{\pi}{4}}{1 — tg\,a \cdot tg\,\frac{\pi}{4}} = 0,2;$$ $$\frac{tg\,a + 1}{1 — tg\,a \cdot 1} = 0,2;$$ $$1 + tg\,a = 0,2 \cdot (1 — tg\,a);$$ $$1 + tg\,a = 0,2 — 0,2\,tg\,a;$$ $$1,2\,tg\,a = -0,8;$$ $$12\,tg\,a = -8;$$ $$3\,tg\,a = -2;$$ $$tg\,a = -\frac{2}{3};$$ $$ctg\,a = -\frac{3}{2};$$

Ответ: $-1,5$.

Для любых углов $x,y$ справедливо:

$$\tan(x\pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x\,\tan y},$$

где знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$1 \mp \tan x\,\tan y \neq 0.$$

Также $\tan\frac{\pi}{4}=1$.

а) Найти $\tg a$, если $\tg\!\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=3$

1) Применим формулу разности

$$\tan\!\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan a — \tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan a\,\tan\frac{\pi}{4}} =\frac{\tan a — 1}{1+\tan a\cdot 1} =\frac{\tan a — 1}{1+\tan a}.$$

2) Составим уравнение

По условию $\displaystyle \frac{\tan a-1}{1+\tan a}=3$.

Так как правая часть конечная ($3$), знаменатель слева не ноль: $1+\tan a\neq 0$. Это важно для корректности переходов.

3) Решим алгебраически

Перемножим крест-накрест:

$$\tan a-1 = 3(1+\tan a)=3+3\tan a.$$

Перенесём всё в одну часть:

$$\tan a — 3\tan a -1 -3 = 0 \;\Longrightarrow\; -2\tan a -4=0.$$

Отсюда

$$-2\tan a=4 \;\Longrightarrow\; \tan a=-2.$$

4) Проверка и ОДЗ

• Проверим знаменатель исходной дроби: $1+\tan a=1+(-2)=-1\neq 0$ — ок.
• Подстановка назад:

$$\tan\!\left(a-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{(-2)-1}{1+(-2)}=\frac{-3}{-1}=3.$$

Совпадает с условием.

Итог по (а): $\boxed{\tan a=-2}$.

б) Найти $\ctg a$, если $\tg\!\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=0{,}2$

Заменим десятичную дробь на простую: $0{,}2=\frac{1}{5}$. Так удобнее для точных преобразований.

1) Применим формулу суммы

$$\tan\!\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan a + \tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan a\,\tan\frac{\pi}{4}} =\frac{\tan a + 1}{1-\tan a}.$$

2) Составим уравнение

$$\frac{\tan a + 1}{1-\tan a}=\frac{1}{5}.$$

Поскольку правая часть конечная, $1-\tan a\neq 0$ (иначе слева была бы не определена).

3) Решим алгебраически

Перемножим крест-накрест:

$$5(\tan a + 1)=1-\tan a.$$

Раскроем скобки и соберём $\tan a$:

$$5\tan a + 5 = 1 — \tan a \;\Longrightarrow\; 5\tan a + \tan a = 1 — 5 \;\Longrightarrow\; 6\tan a = -4.$$

Значит,

$$\tan a = -\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}.$$

4) Переход к котангенсу

По определению $\displaystyle \cot a=\frac{1}{\tan a}$ (при $\tan a\neq 0$, что у нас верно).

$$\cot a=\frac{1}{-\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}=-1{,}5.$$

5) Проверка и ОДЗ

• Знаменатель в формуле суммы: $1-\tan a=1-(-\tfrac{2}{3})=\tfrac{5}{3}\neq 0$ — ок.
• Подстановка назад:

$$\tan\!\left(a+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{-\frac{2}{3}+1}{1-(-\frac{2}{3})} =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} =\frac{1}{5}=0{,}2.$$

Совпадает с условием.

Итог по (б): $\boxed{\cot a=-\frac{3}{2}=-1{,}5}$.