ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $\operatorname{tg} a = 3$ и $\mathrm{tg}(a+\beta )=1$, найдите $\mathrm{tg}\beta$.

б) Зная, что $\operatorname{tg} a = \frac{1}{4}$ и $\mathrm{tg}(a-\beta )=2$, найдите $\mathrm{tg}\beta$.

Вычислить значение:

а) $\operatorname{tg} \beta$, если $\operatorname{tg} a = 3$ и $\operatorname{tg}(a + \beta) = 1$;

$$\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{tg}\beta }=1;$$

$$\frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = 1;$$ $$\frac{3+\mathrm{tg}\beta }{1-3\mathrm{tg}\beta }=1;$$

$$\frac{3 + \operatorname{tg} \beta}{1 — 3 \operatorname{tg} \beta} = 1;$$ $$3+\mathrm{tg}\beta =1-3\mathrm{tg}\beta ;$$

$$3 + \operatorname{tg} \beta = 1 — 3 \operatorname{tg} \beta;$$ $$4\mathrm{tg}\beta =-2;$$

$$4 \operatorname{tg} \beta = -2;$$ $$\operatorname{tg} \beta = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-0,5$.

б) $\operatorname{tg} \beta$, если $\operatorname{tg} a = \frac{1}{4}$ и $\operatorname{tg}(a — \beta) = 2$;

$$\frac{\mathrm{tg}a-\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{tg}\beta }=2;$$

$$\frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = 2;$$ $$\frac{\frac{1}{4}-\mathrm{tg}\beta }{1+\frac{1}{4}\mathrm{tg}\beta }=2;$$

$$\frac{\frac{1}{4} — \operatorname{tg} \beta}{1 + \frac{1}{4} \operatorname{tg} \beta} = 2;$$ $$\frac{1-4\mathrm{tg}\beta }{4+\mathrm{tg}\beta }=2;$$

$$\frac{1 — 4 \operatorname{tg} \beta}{4 + \operatorname{tg} \beta} = 2;$$ $$1-4\mathrm{tg}\beta =2\cdot (4+\mathrm{tg}\beta );$$

$$1 — 4 \operatorname{tg} \beta = 2 \cdot (4 + \operatorname{tg} \beta);$$ $$1-4\mathrm{tg}\beta =8+2\mathrm{tg}\beta ;$$

$$1 — 4 \operatorname{tg} \beta = 8 + 2 \operatorname{tg} \beta;$$ $$6\mathrm{tg}\beta =-7;$$

$$6 \operatorname{tg} \beta = -7;$$ $$\operatorname{tg} \beta = -\frac{7}{6};$$

Ответ: $-1\frac{1}{6}$.

а) Найти $\operatorname{tg} \beta$, если:

$$\operatorname{tg} a = 3 \quad \text{и} \quad \operatorname{tg}(a + \beta) = 1$$

Шаг 1. Вспомним формулу тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}$$

Шаг 2. Подставим в эту формулу данные:

$$\operatorname{tg} a = 3, \quad \operatorname{tg}(a + \beta) = 1$$ $$\frac{3 + \operatorname{tg} \beta}{1 — 3 \cdot \operatorname{tg} \beta} = 1$$

Шаг 3. Упростим левую часть:

$$\frac{3 + \operatorname{tg} \beta}{1 — 3 \operatorname{tg} \beta} = 1$$

Шаг 4. Умножим обе части уравнения на знаменатель правой части:

$$(3 + \operatorname{tg} \beta) = 1 \cdot (1 — 3 \operatorname{tg} \beta)$$ $$3 + \operatorname{tg} \beta = 1 — 3 \operatorname{tg} \beta$$

Шаг 5. Перенесем все слагаемые с $\operatorname{tg} \beta$ в одну сторону, а числа — в другую:

$$\operatorname{tg} \beta + 3 \operatorname{tg} \beta = 1 — 3$$ $$4 \operatorname{tg} \beta = -2$$

Шаг 6. Разделим обе части на 4:

$$\operatorname{tg} \beta = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-0,5}$$

б) Найти $\operatorname{tg} \beta$, если:

$$\operatorname{tg} a = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad \operatorname{tg}(a — \beta) = 2$$

Шаг 1. Формула тангенса разности:

$$\operatorname{tg}(a — b) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b}$$

Шаг 2. Подставим в формулу:

$$\frac{\frac{1}{4} — \operatorname{tg} \beta}{1 + \frac{1}{4} \cdot \operatorname{tg} \beta} = 2$$

Шаг 3. Избавимся от дробей. Умножим числитель и знаменатель на 4 (чтобы убрать знаменатель 4):

$$\frac{1 — 4 \operatorname{tg} \beta}{4 + \operatorname{tg} \beta} = 2$$

Шаг 4. Умножим обе части на знаменатель правой части:

$$1 — 4 \operatorname{tg} \beta = 2 \cdot (4 + \operatorname{tg} \beta)$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$1 — 4 \operatorname{tg} \beta = 8 + 2 \operatorname{tg} \beta$$

Шаг 6. Переносим все слагаемые с $\operatorname{tg} \beta$ в одну сторону, числа — в другую:

$$-4 \operatorname{tg} \beta — 2 \operatorname{tg} \beta = 8 — 1$$ $$-6 \operatorname{tg} \beta = 7$$

Шаг 7. Разделим обе части на -6:

$$\operatorname{tg} \beta = -\frac{7}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{-1\frac{1}{6}} \quad \text{или} \quad \boxed{-\frac{7}{6}}$$