ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\sin a = -\frac{12}{13}$, $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$. Найдите:

а)

$$\mathrm{tg}(a+\frac{\pi }{4})$$

б)

$$\mathrm{tg}(a-\frac{\pi }{4})$$

Известно, что $\sin a = -\frac{12}{13}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $a$ принадлежит третьей четверти:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{\frac{169}{169} — \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{13} : \frac{5}{13} = \frac{12}{5} = 2,4;$$

а)

$$\tg \left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg a + \tg \frac{\pi}{4}}{1 — \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{4}} = \frac{2,4 + 1}{1 — 2,4 \cdot 1} = \frac{3,4}{-1,4} = -\frac{34}{14} = -\frac{17}{7};$$

Ответ: $-2\frac{3}{7}$

б)

$$\tg \left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg a — \tg \frac{\pi}{4}}{1 + \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{4}} = \frac{2,4 — 1}{1 + 2,4 \cdot 1} = \frac{1,4}{3,4} = \frac{14}{34} = \frac{7}{17};$$

Ответ: $\frac{7}{17}$

Известно, что

$$\sin a = -\frac{12}{13}, \quad \text{и} \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 1. Определим четверть, в которой находится угол $a$:

Угол $a$ лежит в третьей четверти:

$$\pi < a < \frac{3\pi}{2}$$

В третьей четверти:

• $\sin a < 0$
• $\cos a < 0$
• $\tg a > 0$

Это подтверждает знак $\sin a = -\frac{12}{13}$

Шаг 2. Найдём $\cos a$, используя основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \cos^2 a = 1 — \sin^2 a$$ $$\sin^2 a = \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{144}{169}$$ $$\cos^2 a = 1 — \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \Rightarrow \cos a = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}$$

Но так как угол в третьей четверти, где $\cos a < 0$, получаем:

$$\cos a = -\frac{5}{13}$$

Шаг 3. Найдём $\tg a$:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{13} \div \frac{5}{13}$$ $$\tg a = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5} = 2{,}4$$

а) Найти $\tg\left(a + \frac{\pi}{4}\right)$

Шаг 4. Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 — \tg x \cdot \tg y}$$

Пусть $x = a$, $y = \frac{\pi}{4}$, тогда:

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg a + \tg \frac{\pi}{4}}{1 — \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{4}}$$

Известно:

$$\tg a = \frac{12}{5}, \quad \tg\frac{\pi}{4} = 1$$

Шаг 5. Подставим значения:

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} + 1}{1 — \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{\frac{17}{5}}{1 — \frac{12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}}$$

Шаг 6. Делим дроби:

$$\frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{17}{5} \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{85}{35}$$ $$-\frac{85}{35} = -\frac{17}{7}$$

Ответ а):

$$\boxed{-\frac{17}{7}} \quad \text{или} \quad \boxed{-2\frac{3}{7}}$$

б) Найти $\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right)$

Шаг 7. Используем формулу разности тангенсов:

$$\tg(x — y) = \frac{\tg x — \tg y}{1 + \tg x \cdot \tg y}$$

Пусть $x = a$, $y = \frac{\pi}{4}$, тогда:

$$\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg a — \tg \frac{\pi}{4}}{1 + \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{4}}$$ $$\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} — 1}{1 + \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{\frac{7}{5}}{1 + \frac{12}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}}$$

Шаг 8. Делим дроби:

$$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{17} = \frac{35}{85} = \frac{7}{17}$$

Ответ б):

$$\boxed{\frac{7}{17}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{-\frac{17}{7}}$ или $\boxed{-2\frac{3}{7}}$

б) $\boxed{\frac{7}{17}}$