ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $tg\,a = \frac{1}{2}$, $tg\beta =\frac{1}{3}$. Найдите:

а) $tg(a+\beta )$

б) $tg(a-\beta )$

Известно, что $tg\,a = \frac{1}{2}$ и $tg\,\beta = \frac{1}{3}$, найти:

а) $tg(a + \beta) = \frac{tg\,a + tg\,\beta}{1 — tg\,a \cdot tg\,\beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{3 + 2}{6 — 1} = \frac{5}{5} = 1$;

Ответ: 1.

б) $tg(a — \beta) = \frac{tg\,a — tg\,\beta}{1 + tg\,a \cdot tg\,\beta} = \frac{\frac{1}{2} — \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{3 — 2}{6 + 1} = \frac{1}{7}$;

Ответ: $\frac{1}{7}$.

Известно, что $tg\,a=\tfrac{1}{2}$ и $tg\,\beta=\tfrac{1}{3}$. Найти $tg(a+\beta)$ и $tg(a-\beta)$.

Формула сложения/вычитания для тангенса:

$$tg(x\pm y)=\frac{tg\,x\ \pm\ tg\,y}{\,1\mp tg\,x\cdot tg\,y\,}.$$

Эта формула выводится из

$$tg(x\pm y)=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}= \frac{\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}{\cos x\cos y\mp \sin x\sin y},$$

после деления числителя и знаменателя на $\cos x\cos y$:

$$\frac{\frac{\sin x}{\cos x}\pm \frac{\sin y}{\cos y}}{1\mp \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\sin y}{\cos y}} =\frac{tg\,x\pm tg\,y}{1\mp tg\,x\cdot tg\,y}.$$

Условия корректности подстановки: $tg\,a$ и $tg\,\beta$ заданы, значит $\cos a\neq 0$ и $\cos\beta\neq 0$. Дополнительно нужно, чтобы знаменатели формул не обращались в ноль:

• для $tg(a+\beta)$: $1-tg\,a\cdot tg\,\beta\neq 0$;
• для $tg(a-\beta)$: $1+tg\,a\cdot tg\,\beta\neq 0$.

В нашем случае $tg\,a\cdot tg\,\beta=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}$, значит
$1-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}\neq 0$ и $1+\tfrac{1}{6}=\tfrac{7}{6}\neq 0$. Всё допустимо.

а) Вычисление $tg(a+\beta)$

Подставляем $tg\,a=\tfrac{1}{2}$, $tg\,\beta=\tfrac{1}{3}$ в формулу сложения:

$$tg(a+\beta)=\frac{tg\,a+tg\,\beta}{1-tg\,a\cdot tg\,\beta} =\frac{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}}{\,1-\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3}\,}.$$

Аккуратно приводим дроби:

Числитель.

$$\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3} =\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} =\frac{3}{6}+\frac{2}{6} =\frac{3+2}{6} =\frac{5}{6}.$$

Знаменатель.

$$1-\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3} =1-\tfrac{1}{6} =\frac{6}{6}-\frac{1}{6} =\frac{5}{6}.$$

Теперь делим дроби:

$$tg(a+\beta)=\frac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{5}{6}} =\tfrac{5}{6}\cdot \frac{6}{5} =1.$$

Ответ к пункту а): $1$.

б) Вычисление $tg(a-\beta)$

Используем формулу вычитания:

$$tg(a-\beta)=\frac{tg\,a-tg\,\beta}{1+tg\,a\cdot tg\,\beta} =\frac{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}}{\,1+\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3}\,}.$$

Снова по шагам:

Числитель.

$$\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3} =\frac{3}{6}-\frac{2}{6} =\frac{3-2}{6} =\frac{1}{6}.$$

Знаменатель.

$$1+\tfrac{1}{6} =\frac{6}{6}+\frac{1}{6} =\frac{7}{6}.$$

Делим:

$$tg(a-\beta)=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{7}{6}} =\tfrac{1}{6}\cdot \frac{6}{7} =\frac{1}{7}.$$

Ответ к пункту б): $\tfrac{1}{7}$.