ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{tg\mathrm{2,22}+tg\mathrm{0,92}}{1-tg\mathrm{2,22}\cdot tg\mathrm{0,92}}$

б) $\frac{tg\mathrm{1,47}-tg\mathrm{0,69}}{1+tg\mathrm{1,47}\cdot tg\mathrm{0,69}}$

Упростить выражение:

а) $\frac{tg\, 2{,}22 + tg\, 0{,}92}{1 — tg\, 2{,}22 \cdot tg\, 0{,}92} = tg(2{,}22 + 0{,}92) = tg\, 3{,}14 \approx tg\, \pi \approx 0$;
Ответ: $tg\, 3{,}14 \approx 0$.

б) $\frac{tg\, 1{,}47 — tg\, 0{,}69}{1 + tg\, 1{,}47 \cdot tg\, 0{,}69} = tg(1{,}47 — 0{,}69) = tg\, 0{,}78 \approx tg\, \frac{\pi}{4} \approx 1$;
Ответ: $tg\, 0{,}78 \approx 1$.

а)

$$\frac{tg\, 2{,}22 + tg\, 0{,}92}{1 — tg\, 2{,}22 \cdot tg\, 0{,}92}$$

ШАГ 1. Узнаём, что это формула суммы тангенсов:

$$\frac{tg\,A + tg\,B}{1 — tg\,A \cdot tg\,B} = tg(A + B)$$

Это стандартное тригонометрическое тождество.

Применим его к:

$$A = 2{,}22, \quad B = 0{,}92$$

Тогда:

$$\frac{tg\, 2{,}22 + tg\, 0{,}92}{1 — tg\, 2{,}22 \cdot tg\, 0{,}92} = tg(2{,}22 + 0{,}92)$$

ШАГ 2. Складываем аргументы:

$$2{,}22 + 0{,}92 = 3{,}14$$ $$tg(2{,}22 + 0{,}92) = tg(3{,}14)$$

ШАГ 3. Узнаём, что 3,14 ≈ π

Поскольку:

$$\pi \approx 3{,}1416,\quad \text{а } 3{,}14 \text{ — приближённое значение } \pi$$

Значит:

$$tg(3{,}14) \approx tg(\pi)$$

ШАГ 4. Значение тангенса π

Из школьного курса:

$$tg(\pi) = 0$$

Потому что:

$$tg\,x = \frac{sin\,x}{cos\,x},\quad sin\,\pi = 0,\quad cos\,\pi = -1,\quad \Rightarrow tg\,\pi = \frac{0}{-1} = 0$$

Ответ а):

$$tg\, 3{,}14 \approx 0$$

б)

$$\frac{tg\, 1{,}47 — tg\, 0{,}69}{1 + tg\, 1{,}47 \cdot tg\, 0{,}69}$$

ШАГ 1. Узнаём формулу разности тангенсов:

$$\frac{tg\,A — tg\,B}{1 + tg\,A \cdot tg\,B} = tg(A — B)$$

Это также стандартная формула:

Применим:

$$A = 1{,}47,\quad B = 0{,}69$$ $$\frac{tg\, 1{,}47 — tg\, 0{,}69}{1 + tg\, 1{,}47 \cdot tg\, 0{,}69} = tg(1{,}47 — 0{,}69)$$

ШАГ 2. Вычитаем аргументы:

$$1{,}47 — 0{,}69 = 0{,}78$$ $$tg(1{,}47 — 0{,}69) = tg(0{,}78)$$

ШАГ 3. Сравниваем 0,78 с известным значением

$$\frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854,\quad \Rightarrow 0{,}78 \approx \frac{\pi}{4}$$

ШАГ 4. Значение $tg\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$$tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Значит:

$$tg(0{,}78) \approx tg\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 1$$

Ответ б):

$$tg\, 0{,}78 \approx 1$$

Итоговые ответы:

а) $tg\, 3{,}14 \approx 0$

б) $tg\mathrm{0,78}\approx 1$