ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\frac{tg(\frac{\pi }{8}+a)+tg(\frac{\pi }{8}-a)}{1-tg(\frac{\pi }{8}+a)\cdot tg(\frac{\pi }{8}-a)}$$

б)

$$\frac{tg({45}^{\circ }+a)-tga}{1+tg({45}^{\circ }+a)\cdot tga}$$

Упростить выражение:

а)

$$\frac{tg\left(\frac{\pi}{8}+a\right)+tg\left(\frac{\pi}{8}-a\right)}{1 — tg\left(\frac{\pi}{8}+a\right) \cdot tg\left(\frac{\pi}{8}-a\right)} = tg\left(\left(\frac{\pi}{8}+a\right) + \left(\frac{\pi}{8}-a\right)\right) = tg\frac{\pi}{4} = 1;$$

Ответ: 1.

б)

$$\frac{tg(45^\circ+a) — tg\,a}{1 + tg(45^\circ+a) \cdot tg\,a} = tg((45^\circ+a) — a) = tg\,45^\circ = 1;$$

Ответ: 1.

а)

$$\frac{tg\left(\frac{\pi}{8} + a\right) + tg\left(\frac{\pi}{8} — a\right)}{1 — tg\left(\frac{\pi}{8} + a\right) \cdot tg\left(\frac{\pi}{8} — a\right)}$$

ШАГ 1. Узнаём формулу суммы тангенсов

Это выражение имеет вид:

$$\frac{tg\,A + tg\,B}{1 — tg\,A \cdot tg\,B} = tg(A + B)$$

Это формула суммы тангенсов:

$$tg\,x + tg\,y = \frac{tg\,x + tg\,y}{1 — tg\,x \cdot tg\,y} = tg(x + y)$$

ШАГ 2. Подставим:

$$A = \frac{\pi}{8} + a,\quad B = \frac{\pi}{8} — a$$

Тогда:

$$tg\left(\frac{\pi}{8} + a\right) + tg\left(\frac{\pi}{8} — a\right) = tg(A) + tg(B)$$

И:

$$\frac{tg(A) + tg(B)}{1 — tg(A) \cdot tg(B)} = tg(A + B)$$

ШАГ 3. Складываем углы:

$$A + B = \left(\frac{\pi}{8} + a\right) + \left(\frac{\pi}{8} — a\right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$$

ШАГ 4. Значение $tg\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$$tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Потому что:

$$tg\,x = \frac{sin\,x}{cos\,x},\quad sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$$

Ответ а):

$$1$$

б)

$$\frac{tg(45^\circ + a) — tg\,a}{1 + tg(45^\circ + a) \cdot tg\,a}$$

ШАГ 1. Узнаём формулу разности тангенсов

Это выражение:

$$\frac{tg\,A — tg\,B}{1 + tg\,A \cdot tg\,B} = tg(A — B)$$

Это формула разности тангенсов:

$$tg\,x — tg\,y = \frac{tg\,x — tg\,y}{1 + tg\,x \cdot tg\,y} = tg(x — y)$$

ШАГ 2. Подставим:

$$A = 45^\circ + a,\quad B = a$$

Тогда:

$$\frac{tg(A) — tg(B)}{1 + tg(A) \cdot tg(B)} = tg(A — B)$$

ШАГ 3. Вычитаем углы:

$$A — B = (45^\circ + a) — a = 45^\circ$$

ШАГ 4. Значение $tg\,45^\circ$

$$tg\,45^\circ = 1$$

Как и в предыдущем пункте:

$$tg\,x = \frac{sin\,x}{cos\,x},\quad sin\,45^\circ = cos\,45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$$

Ответ б):

$$1$$

Итоговые ответы:

а) $1$

б) $1$