ГДЗ 10-11 Класс Номер 20.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\frac{tgx+tg3x}{1-tgx\cdot tg3x}=1;$$

б)

$$\frac{tg5x-tg3x}{1+tg3x\cdot tg5x}=\sqrt{3}$$

Решить уравнение:

а)

$$\frac{tgx+tg3x}{1-tgx\cdot tg3x}=1;$$

$$\frac{tg\,x + tg\,3x}{1 — tg\,x \cdot tg\,3x} = 1;$$ $$tg(x+3x)=1;$$

$$tg(x + 3x) = 1;$$ $$tg4x=1;$$

$$tg\,4x = 1;$$ $$4x=arctg1+\pi n=\frac{\pi }{4}+\pi n;$$

$$4x = arctg\,1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

б)

$$\frac{tg5x-tg3x}{1+tg3x\cdot tg5x}=\sqrt{3};$$

$$\frac{tg\,5x — tg\,3x}{1 + tg\,3x \cdot tg\,5x} = \sqrt{3};$$ $$tg(5x-3x)=\sqrt{3};$$

$$tg(5x — 3x) = \sqrt{3};$$ $$tg2x=\sqrt{3};$$

$$tg\,2x = \sqrt{3};$$ $$2x=arctg\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{3}+\pi n;$$

$$2x = arctg\,\sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

а)

$$\frac{tg\,x + tg\,3x}{1 — tg\,x \cdot tg\,3x} = 1$$

ШАГ 1: Узнаём формулу суммы тангенсов

Формула:

$$\frac{tg\,A + tg\,B}{1 — tg\,A \cdot tg\,B} = tg(A + B)$$

Применима, если обе стороны определены (т.е. $tg\,x$, $tg\,3x$ и $tg(x + 3x)$ существуют).

ШАГ 2: Применим к нашему выражению

Здесь:

• $A = x$,
• $B = 3x$

По формуле:

$$\frac{tg\,x + tg\,3x}{1 — tg\,x \cdot tg\,3x} = tg(x + 3x) = tg(4x)$$

Теперь уравнение становится:

$$tg\,4x = 1$$

ШАГ 3: Решаем уравнение $tg\,4x = 1$

Значение:

$$tg\left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

Общее решение уравнения:

$$4x = \arctg\,1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

ШАГ 4: Делим обе части на 4

$$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

ШАГ 5: Учёт области определения

Формула суммы тангенсов:

$$\frac{tg\,x + tg\,3x}{1 — tg\,x \cdot tg\,3x}$$

определена тогда, когда:

• $tg\,x$ и $tg\,3x$ существуют
• знаменатель $\neq 0$, то есть:

  $$1 — tg\,x \cdot tg\,3x \neq 0$$

Проверим: при $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$,
получим $4x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, и $tg\,4x = 1$, значит:

$$tg\,x \cdot tg\,3x = \frac{tg\,x + tg\,3x — 1}{1} = 1 \Rightarrow 1 — 1 = 0 \Rightarrow \text{Проблема?}$$

Однако мы исходили из равенства:

$$\frac{tg\,x + tg\,3x}{1 — tg\,x \cdot tg\,3x} = 1 \Rightarrow \text{допустимо, если числитель и знаменатель определены.}$$

Находящиеся в ОДЗ значения сохраняются. При $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$, косинусы аргументов ≠ 0, так что выражение определено.

Ответ а):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4},\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

$$\frac{tg\,5x — tg\,3x}{1 + tg\,3x \cdot tg\,5x} = \sqrt{3}$$

ШАГ 1: Узнаём формулу разности тангенсов

Формула:

$$\frac{tg\,A — tg\,B}{1 + tg\,A \cdot tg\,B} = tg(A — B)$$

Применима при существовании всех тангенсов и $1 + tg\,A \cdot tg\,B \neq 0$

ШАГ 2: Применим к уравнению

Пусть:

• $A = 5x$
• $B = 3x$

Тогда:

$$\frac{tg\,5x — tg\,3x}{1 + tg\,5x \cdot tg\,3x} = tg(5x — 3x) = tg(2x)$$

Значит:

$$tg\,2x = \sqrt{3}$$

ШАГ 3: Решаем уравнение $tg\,2x = \sqrt{3}$

Из таблицы значений:

$$tg\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}$$

Общее решение:

$$2x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

ШАГ 4: Делим обе части на 2

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

ШАГ 5: Область определения

Выражение:

$$\frac{tg\,5x — tg\,3x}{1 + tg\,3x \cdot tg\,5x}$$

определено при:

• $tg\,3x$ и $tg\,5x$ существуют (то есть $\cos(3x) \neq 0$, $\cos(5x) \neq 0$)
• $1 + tg\,3x \cdot tg\,5x \neq 0$

При $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$,
проверим: $3x = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}$, а при таких значениях:

$$\cos(3x) = 0 \Rightarrow tg\,3x\ \text{не существует}$$

Значит некоторые из найденных значений не входят в область определения!

ШАГ 6: Проверка подстановкой

Рассмотрим:
$x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos(3x) = 0 \Rightarrow \text{выражение не определено}$

Следующее значение:
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3}$

Проверим:

• $3x = 2\pi$ → $\cos(2\pi) = 1$ → определено
• $5x = \frac{10\pi}{3}$, $\cos(10\pi/3) \neq 0$ → тоже определено
  → Подходит.

Значит, решения надо записать с учётом исключений:

Ответ б):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2},\quad n \in \mathbb{Z},\quad x \not= \frac{\pi}{6} + \pi m,\quad m \in \mathbb{Z}}$$

(исключаются те значения, при которых $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \Rightarrow \cos(3x) = 0$)

Итоги:

а) $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4},\quad n \in \mathbb{Z}$

б) $x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z},x≠\frac{\pi }{6}+\pi m$