ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\cos x = 0{,}8$ и $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Найдите:

а)

$$\sin 2x$$

б)

$$\cos 2x$$

в)

$$\mathrm{tg}2x$$

г)

$$\mathrm{ctg}2x$$

Известно, что $\cos x = 0{,}8$ и $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

Точка $x$ принадлежит первой четверти:

$$\cos x = \frac{8}{10} = \frac{4}{5};$$ $$\sin x = +\sqrt{1 — \cos^2 x} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5};$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{5} : \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4};$$

а)

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25};$$

Ответ: $\frac{24}{25}$.

б)

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = \left(\frac{4}{5}\right)^2 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25};$$

Ответ: $\frac{7}{25}$.

в)

$$\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{8 \cdot 3}{16 — 9} = \frac{24}{7};$$

Ответ: $\frac{24}{7}$.

г)

$$\operatorname{ctg} 2x = \frac{1}{\operatorname{tg} 2x} = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 x}{2 \operatorname{tg} x} = \frac{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{16 — 9}{8 \cdot 3} = \frac{7}{24};$$

Ответ: $\frac{7}{24}$.

Дано:

$$\cos x = 0{,}8, \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}$$

Это означает, что угол $x$ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны.

1. Преобразуем $\cos x$ к дроби

$$\cos x = 0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

2. Найдём $\sin x$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 1 — \cos^2 x$$ $$\cos^2 x = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin^2 x = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Так как $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow \sin x > 0$, значит:

$$\sin x = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

3. Найдём $\operatorname{tg} x$

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{5} \div \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$$

а) $\sin 2x$

Формула:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Подставим:

$$\sin 2x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{24}{25}}$$

б) $\cos 2x$

Формула:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Ранее мы нашли:

• $\cos^2 x = \frac{16}{25}$
• $\sin^2 x = \frac{9}{25}$

$$\cos 2x = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{7}{25}}$$

в) $\operatorname{tg} 2x$

Формула:

$$\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}^2 x}$$

У нас:

• $\operatorname{tg} x = \frac{3}{4}$
• $\operatorname{tg}^2 x = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Подставим:

Числитель:

$$2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4}$$

Знаменатель:

$$1 — \frac{9}{16} = \frac{16 — 9}{16} = \frac{7}{16}$$

Теперь:

$$\operatorname{tg} 2x = \frac{\frac{6}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{6}{4} \cdot \frac{16}{7}$$

Сократим:

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow \operatorname{tg} 2x = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{48}{7} \div 2 = \frac{24}{7}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{24}{7}}$$

г) $\operatorname{ctg} 2x$

Способ 1: через обратную величину $\operatorname{tg} 2x$:

$$\operatorname{ctg} 2x = \frac{1}{\operatorname{tg} 2x} = \frac{1}{\frac{24}{7}} = \frac{7}{24}$$

Способ 2: по формуле:

$$\operatorname{ctg} 2x = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 x}{2 \cdot \operatorname{tg} x}$$ $$1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 — \frac{9}{16} = \frac{7}{16}, \quad 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ $$\operatorname{ctg} 2x = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{7}{24}}}$$