ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\frac{\sin 2t-2\sin t}{\cos t-1}$$

б)

$$\frac{\cos 2t-{\cos }^{2}t}{1-{\cos }^{2}t}$$

в)

$$\sin 2t\cdot \mathrm{ctg}t-1$$

г)

$$(\mathrm{tg}t+\mathrm{ctg}t)\cdot \sin 2t$$

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\sin 2t — 2 \sin t}{\cos t — 1} = \frac{2 \sin t \cdot \cos t — 2 \sin t}{\cos t — 1} = \frac{2 \sin t \cdot (\cos t — 1)}{\cos t — 1} = 2 \sin t;$$

Ответ: $2 \sin t$

б)

$$\frac{\cos 2t — \cos^2 t}{1 — \cos^2 t} = \frac{(\cos^2 t — \sin^2 t) — \cos^2 t}{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \cos^2 t} = \frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t} = -1;$$

Ответ: $-1$

в)

$$\sin 2t \cdot \operatorname{ctg} t — 1 = 2 \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} — 1 =$$ $$= 2 \cos^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t) = \cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t;$$

Ответ: $\cos 2t$

г)

$$(\operatorname{tg} t + \operatorname{ctg} t) \cdot \sin 2t = \left(\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t}\right) \cdot 2 \sin t \cdot \cos t =$$ $$= 2 \cdot (\sin^2 t + \cos^2 t) = 2 \cdot 1 = 2;$$

Ответ: $2$

а)

$$\frac{\sin 2t — 2 \sin t}{\cos t — 1}$$

Шаг 1: Вспомним формулу двойного угла для синуса

$$\sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 2: Подставим эту формулу в числитель

$$\frac{2 \sin t \cdot \cos t — 2 \sin t}{\cos t — 1}$$

Шаг 3: Вынесем $2 \sin t$ за скобку в числителе

$$= \frac{2 \sin t \cdot (\cos t — 1)}{\cos t — 1}$$

Шаг 4: Сократим одинаковые множители

$$= 2 \sin t$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin t}$$

б)

$$\frac{\cos 2t — \cos^2 t}{1 — \cos^2 t}$$

Шаг 1: Вспомним формулу для $\cos 2t$

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 2: Подставим в числитель

$$\frac{(\cos^2 t — \sin^2 t) — \cos^2 t}{1 — \cos^2 t}$$

Шаг 3: Упростим числитель

$$\cos^2 t — \sin^2 t — \cos^2 t = -\sin^2 t$$

Шаг 4: Упростим знаменатель

$$1 — \cos^2 t = \sin^2 t \quad \text{(по основному тождеству)}$$

Шаг 5: Подставим и упростим

$$\frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t} = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

в)

$$\sin 2t \cdot \ctg t — 1$$

Шаг 1: Используем формулы

$$\sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t, \quad \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$2 \sin t \cdot \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} — 1$$

Шаг 3: Сократим $\sin t$

$$2 \cos^2 t — 1$$

Шаг 4: Вспомним формулу

$$\cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t, \quad \text{а также:} \quad \sin^2 t + \cos^2 t = 1$$ $$2 \cos^2 t — 1 = \cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t$$

Ответ:

$$\boxed{\cos 2t}$$

г)

$$(\tg t + \ctg t) \cdot \sin 2t$$

Шаг 1: Используем определения

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}, \quad \ctg t = \frac{\cos t}{\sin t}, \quad \sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\left( \frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\sin t} \right) \cdot 2 \sin t \cdot \cos t$$

Шаг 3: Приведём выражение в скобках к общему знаменателю (или просто оставим как есть)

Умножим по очереди:

1-е слагаемое:

$$\frac{\sin t}{\cos t} \cdot 2 \sin t \cdot \cos t = 2 \sin^2 t$$

2-е слагаемое:

$$\frac{\cos t}{\sin t} \cdot 2 \sin t \cdot \cos t = 2 \cos^2 t$$

Шаг 4: Сложим

$$2 \sin^2 t + 2 \cos^2 t = 2 (\sin^2 t + \cos^2 t)$$

Шаг 5: Применим основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow 2 \cdot 1 = 2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$