ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$(1-t{g}^{2}t)\cdot {\cos }^{2}t$$

б)

$$2{\cos }^2\frac{\pi +t}{4}-2{\sin }^2\frac{\pi +t}{4}$$

Упростить выражение:

а)

$$(1 — tg^2 t) \cdot \cos^2 t = \left(1 — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right) \cdot \cos^2 t = \cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t;$$

Ответ: $\cos 2t$

б)

$$2 \cos^2 \frac{\pi + t}{4} — 2 \sin^2 \frac{\pi + t}{4} = 2 \left(\cos^2 \frac{\pi + t}{4} — \sin^2 \frac{\pi + t}{4}\right) =$$ $$= 2 \cos \left(2 \cdot \frac{\pi + t}{4}\right) = 2 \cos \frac{\pi + t}{2} = 2 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{t}{2}\right) = -2 \sin \frac{t}{2};$$

Ответ: $-2 \sin \frac{t}{2}$

а)

$$(1 — \tg^2 t) \cdot \cos^2 t$$

Шаг 1: Вспомним определение тангенса через синус и косинус

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} \Rightarrow \tg^2 t = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$(1 — \tg^2 t) \cdot \cos^2 t = \left(1 — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right) \cdot \cos^2 t$$

Шаг 3: Преобразуем дробь в скобках

$$1 — \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Теперь:

$$\frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\cos^2 t} \cdot \cos^2 t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 4: Вспомним формулу косинуса двойного угла

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Ответ:

$$\boxed{\cos 2t}$$

б)

$$2 \cos^2 \left(\frac{\pi + t}{4}\right) — 2 \sin^2 \left(\frac{\pi + t}{4}\right)$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель 2

$$= 2 \left( \cos^2 \left(\frac{\pi + t}{4}\right) — \sin^2 \left(\frac{\pi + t}{4}\right) \right)$$

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов

$$\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \Rightarrow \cos^2 \left(\frac{\pi + t}{4}\right) — \sin^2 \left(\frac{\pi + t}{4}\right) = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi + t}{4}\right)$$

Шаг 3: Упростим аргумент

$$2 \cdot \frac{\pi + t}{4} = \frac{2(\pi + t)}{4} = \frac{\pi + t}{2}$$

Шаг 4: Подставим обратно в выражение

$$2 \cdot \cos \left(\frac{\pi + t}{2}\right)$$

Шаг 5: Используем формулу приведения

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{t}{2} \right) = -\sin \left( \frac{t}{2} \right)$$

(так как $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$)

Шаг 6: Подставим

$$2 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{2} + \frac{t}{2} \right) = 2 \cdot (-\sin \frac{t}{2}) = -2 \sin \frac{t}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -2\sin \frac{t}{2}}}$$