ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$(\sin t — \cos t)^2 = 1 — \sin 2t;$$

б)

$$2 \cos^2 t = 1 + \cos 2t;$$

в)

$$(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t;$$

г)

$$2{\sin }^{2}t=1-\cos 2t$$

Доказать тождество:

а)

$$(\sin t — \cos t)^2 = 1 — \sin 2t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$(\sin t — \cos t)^2 = (\sin^2 t + \cos^2 t) — 2 \sin t \cdot \cos t = 1 — \sin 2t;$$

Тождество доказано.

б)

$$2 \cos^2 t = 1 + \cos 2t;$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$1 + \cos 2t = (\sin^2 t + \cos^2 t) + (\cos^2 t — \sin^2 t) = 2 \cos^2 t;$$

Тождество доказано.

в)

$$(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$(\sin t + \cos t)^2 = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cdot \cos t = 1 + \sin 2t;$$

Тождество доказано.

г)

$$2 \sin^2 t = 1 — \cos 2t;$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$1 — \cos 2t = (\sin^2 t + \cos^2 t) — (\cos^2 t — \sin^2 t) = 2 \sin^2 t;$$

Тождество доказано.

а)

$$(\sin t — \cos t)^2 = 1 — \sin 2t$$

Шаг 1. Раскроем квадрат разности:

$$(\sin t — \cos t)^2 = \sin^2 t — 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$$

Шаг 2. Группируем синус и косинус:

$$= (\sin^2 t + \cos^2 t) — 2 \sin t \cos t$$

Шаг 3. Применим основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \Rightarrow 1 — 2 \sin t \cos t$$

Шаг 4. Замена на формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cos t \Rightarrow 1 — \sin 2t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{(\sin t — \cos t)^2 = 1 — \sin 2t}$$

б)

$$2 \cos^2 t = 1 + \cos 2t$$

Шаг 1. Вспомним формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 2. Преобразуем правую часть:

$$1 + \cos 2t = 1 + (\cos^2 t — \sin^2 t)$$

Шаг 3. Группируем и применяем тождество:

$$1 + \cos^2 t — \sin^2 t = (\cos^2 t + \sin^2 t) + (\cos^2 t — \sin^2 t)$$ $$= 1 + \cos 2t = 2 \cos^2 t \quad \text{(по формуле)}:$$ $$\cos 2t = 2 \cos^2 t — 1 \Rightarrow 2 \cos^2 t = 1 + \cos 2t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{2 \cos^2 t = 1 + \cos 2t}$$

в)

$$(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t$$

Шаг 1. Раскроем квадрат суммы:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$$

Шаг 2. Группируем:

$$= (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t$$

Шаг 3. Подставим известные формулы:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1, \quad 2 \sin t \cos t = \sin 2t \Rightarrow 1 + \sin 2t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t}$$

г)

$$2 \sin^2 t = 1 — \cos 2t$$

Шаг 1. Вспомним формулу двойного угла:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Также:

$$\cos 2t = 1 — 2 \sin^2 t \Rightarrow 2 \sin^2 t = 1 — \cos 2t$$

Шаг 2. Вывод с использованием тождеств:

$$1 — \cos 2t = (\sin^2 t + \cos^2 t) — (\cos^2 t — \sin^2 t)$$ $$= \sin^2 t + \cos^2 t — \cos^2 t + \sin^2 t = 2 \sin^2 t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{2 \sin^2 t = 1 — \cos 2t}$$