ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а)

$$\frac{\sin {40}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}$$

б)

$$\frac{\cos {80}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}$$

в)

$$\frac{\sin {100}^{\circ }}{2\cos {50}^{\circ }}$$

г)

$$\frac{\cos {36}^{\circ }+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}$$

Упростить выражение:

а)

$$\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 20^\circ)}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 2 \cos 20^\circ;$$

Ответ: $2 \cos 20^\circ$.

б)

$$\frac{\cos {80}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}=\frac{\cos (2\cdot {40}^{\circ })}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}=\frac{{\cos }^2{40}^{\circ }-{\sin }^2{40}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}=$$

$$\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} = \frac{\cos(2 \cdot 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} = \frac{\cos^2 40^\circ — \sin^2 40^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} = \frac{(\cos 40^\circ — \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} = \cos 40^\circ — \sin 40^\circ;$$

Ответ: $\cos 40^\circ — \sin 40^\circ$.

в)

$$\frac{\sin 100^\circ}{2 \cos 50^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 50^\circ)}{2 \cdot \cos 50^\circ} = \frac{2 \sin 50^\circ \cdot \cos 50^\circ}{2 \cos 50^\circ} = \sin 50^\circ;$$

Ответ: $\sin 50^\circ$.

г)

$$\frac{\cos {36}^{\circ }+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}=\frac{\cos (2\cdot {18}^{\circ })+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}=\frac{({\cos }^2{18}^{\circ }-{\sin }^2{18}^{\circ })+{\sin }^2{18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}=$$

$$\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\cos(2 \cdot 18^\circ) + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{(\cos^2 18^\circ — \sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \cos 18^\circ;$$

Ответ: $\cos 18^\circ$.

а)

Упростить выражение:

$$\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}$$

Шаг 1. Заметим, что

$$40^\circ = 2 \cdot 20^\circ$$

Шаг 2. Применим формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{\sin(2 \cdot 20^\circ)}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}$$

Шаг 4. Сократим $\sin 20^\circ$:

$$2 \cos 20^\circ$$

Ответ а:

$$\boxed{2 \cos 20^\circ}$$

б)

Упростить выражение:

$$\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$$

Шаг 1. Заметим, что

$$80^\circ = 2 \cdot 40^\circ$$

Шаг 2. Применим формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{\cos^2 40^\circ — \sin^2 40^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$$

Шаг 4. Узнаём формулу разности квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Применим:

$$\frac{(\cos 40^\circ — \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$$

Шаг 5. Сократим $\cos 40^\circ + \sin 40^\circ$:

$$\cos 40^\circ — \sin 40^\circ$$

Ответ б:

$$\boxed{\cos 40^\circ — \sin 40^\circ}$$

в)

Упростить выражение:

$$\frac{\sin 100^\circ}{2 \cos 50^\circ}$$

Шаг 1. Заметим, что

$$100^\circ = 2 \cdot 50^\circ$$

Шаг 2. Применим формулу:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

Шаг 3. Подставим:

$$\frac{2 \sin 50^\circ \cdot \cos 50^\circ}{2 \cos 50^\circ}$$

Шаг 4. Сократим $2 \cos 50^\circ$:

$$\sin 50^\circ$$

Ответ в:

$$\boxed{\sin 50^\circ}$$

г)

Упростить выражение:

$$\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$$

Шаг 1. Заметим, что

$$36^\circ = 2 \cdot 18^\circ$$

Шаг 2. Применим формулу:

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha$$ $$\cos 36^\circ = \cos^2 18^\circ — \sin^2 18^\circ$$

Шаг 3. Подставим в исходное выражение:

$$\frac{\cos^2 18^\circ — \sin^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$$

Шаг 4. Приведём подобные слагаемые в числителе:

$$\cos^2 18^\circ$$

Шаг 5. Упростим дробь:

$$\frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \cos 18^\circ$$

Ответ г:

$$\boxed{\cos 18^\circ}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{2 \cos 20^\circ}$
б) $\boxed{\cos 40^\circ — \sin 40^\circ}$
в) $\boxed{\sin 50^\circ}$
г) $\boxed{{\displaystyle \cos {18}^{\circ }}}$